微积分（I）练习题
一、单选题
1．若f（x）在(??,??)内单调增加,?(x)单调减少,则f[?(x)]在(??,??)内( ). Ａ.单调增加 Ｂ.单调减少 Ｃ.不是单调函数 Ｄ.增减性难以判定 2．当x?0时，与(1?cosx)等价的无穷小量是（ ）.
A.
x2 B. x C.
f(a)?f(a??x)?xx22? D. x2
3．设f(x)?cosx,则limA. sina（ ）.
?x?0 oas C. - s ian D. ? coas B. c4．函数y?f(x)在点x?x0处取得极大值,则必有（ ）. A.f'(x0)?0 B.f''(x0)?0 C.f'(x0)?0且 f''(x0)?0 D.f'(x0)?0或不存在
25．曲线y?x3在(0,??)内（ ）.
Ａ.单调凹减 Ｂ.单调凸增 Ｃ. 单调凸减 Ｄ. 单调凹增 6．f(x)?
lnx2x?1A.x?1 B.x??1
的垂直渐近线为（ ）
C.x??1,x?0 D.x?0
7．若d[e?xf(x)]?exdx,且f(0)?0,则f(x)?（ ）.
A. e2x?ex B. e2x?ex C. e2x?e?x D. e2x?e?x 8．设f(x)为连续函数，I?1s?st0xf(t?)dxs(s?0,t?0)，则I之值( ).
A 依赖于s,t,x B 依赖于s,t C 依赖于t，不依赖于s D 依赖于s,x
9．某商品的需求函数为Q?100?2p，则当价格p?10时降价1%总收益( ).
增加约0.75% C 增加约0.25%
A B 减少约0.75% D 减少约0.25%
10．下列函数中在[-1,1]上满足罗尔定理的是（ ）. A.
f(x)?1x2 B.
f(x)?1?|x| C.
f(x)?arctanx D.
f(x)?ln(1?x)
2
二、填空题
?1?x?1?x,x?0?1．设f(x)?? ,则A? 时，f(x)在x?0处连续. x?A,x?0?m2．设f(x)?ln(1?kx)x,则补充定义f(0)? ，可使其在x=0处连续. 3．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，则f'(0)? . 4．若f(x)在[a,b]上可导，且c为f(x)的极值点(a?c?b)，则f(x)在x?c点处的切线方程为 . 5．曲线f(x)?e3xx?1的水平渐近线为 .
6．若?f(x)dx?x2?C，则?f(x)dx? . 7．若f(x)????2x0xedt，则
tdfdx? .
8．
?x(1?lnedxx)? .
9．设y?sin2x,则y(5)(0)? .
10．若需求函数Q?100e?0.02P，则当价格P?50时的边际需求为 .
三、综合题
x?ax?b1?x21．若limx?1?5，求a, b.
2．若xy?yx(x?0,y?0)，求y?x?1. 3．设平面图形是由曲线 y?4．计算?5．计算?
四、应用题
13x和x?y?4 围成，求此图形的面积。
arctaneexxdx.
2x?31?x20dx.
1. 某产品总成本C为月产量x的函数C?C(x)?15x?4x?20。试问月产量x为多
2少时，才能使得平均单位成本C最低？最低平均单位成本值是多少？此时边际成本值是多少？
2. 已知某产品的边际成本为C?(q)?4q（万元/百台），边际收入为R?(q)?60?12q（万元/百台）。如果该产品的固定成本为10万元，求：（1）产量为多少时总利润L(q)最大？（2）从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什么变化？
五、证明题
1. 设f(x)在[-a,a]上连续，求证?f(x)dx?2?0aa/20f(a?2x)dx。
2. 设f(x)在[0,1]上连续，且满足0?f(x)?1,x?[0,1].证明：存在x0?(0,1).使得
f(x0)?x0.
3. 当x > 0时，求证
x1?x?ln(1?x)。
参考答案： 一、单选题
1.D 2.C 3.B 4. D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.D 二、填空题
1、1 2、mk 3、100! 4、y=f(C) 5、y?0 6、
23x?C 7、 (x?1)e?1 8、
3x?4 9、32 10、
2e
三、综合题
1、解：利用洛必塔法则lim2x?a?1x?1可得：
x?1?5??2?a?5?a??7.2又由lim(x?ax?b)?0?1?7?b?0?b?6.2、解：原式变形为：ylnx?xlny，等式两边求导得：y'lnx?yx?lny?yx.当x?1时，y?1，于是：xy?1.xyy'，解之得：
lny?y'?lnx?y'x?1?0?10?13、解：先求出两条曲线3的交点：（1，3）和（3，1），因此所求面积为S??（4?x?13x?）dx?4?3ln3.dx
4、解：原式?arctaned(?edt?x?x)??ex?xarctane?x?1?e22x.对于第二个不定积分，可做代换t?e,得：?1?edx2x??t(1?t?x2)x?(t1?121t1?t2)dt?lnt?2x12
ln(1?t)?C,因此，原式??earctane?x?1ln(1?e3dxx2)?C.15、解：原式210??1?02xxdx?210?1?0??0d(1?x)1?x221?3?0dx1?x2
ln(1?x)?3arctanx?ln2?3?4.四、应用题
1、解：平均成本函数为C?C(x)x?15x?4?20x:,求导：C'?15?20x2,令：，最低平均成本为80.C'?0，解之得：x?10，此时，平均成本最低25x?4)x?10
边际成本为：C'x?10?(?8.2、解：(1)欲使总利润最大，需C'(q)?R'(q),即：4q?80?12q?q?5，此时利润达到最大。(2)若再增产2百台，总利润的增加量77为：??32,此时，利润将会减少32万元。
L??(R'(q)?C'(q))dq5??(80?16q)dq5五、证明题
1.证明：考查等式右边式子，令a?2x?u,则?2dx?du,a20此时，当x?0,u?a;当x?0,u?0,于是：a
右边?2?f(u)(?a12du)???f(u)du?a?0f(u)du?左边。得证。2.证明：令g(x)?f(x)?x,则g(x)在[0,1]上连续，由于于是，由介值定理可知0?f(x)?1,故有g(0)?0,g(1)?0.，存在x0?(0,1),使g(x0)?0,即有f(x0)?x0.3.证明：设f(x)?ln(1?x),则f'(x)?在[0，x]上应用拉格朗日中值定f(x)?f(0)x?0ln(1?x)?0x?011?x.理，得：?f'(?),其中0???x.即：?11???ln(1?x)?x1???ln(1?x)?x1?x.
1.计算 limln(1?x)?ln(1?x)e2x?0x2?1
?ex?1?,x?02.设f(x)??x，求f'(0).
?0, x?0?3.设y?xarcsinx3?9?x?ln2,求dy.
124.设f(x)在[?1,1]上连续,且满足方程f(x)??f(x)dx?012?x,求?31－1f(x)1－xdx.
25.?6.?e2lnxdx2e(x?1)??0?t 。
tedx。
7. 据说古代迦太基人建造城镇时，允许居民占有一天犁出的一条沟所围成的土地。假设某人一天犁出的沟的长度为常数a，试问所围成的土地是怎样的矩形，其面积为最大？ 8.某公司在采用新营销策略后x个月时，每月销售额增加1?售额为5百万元，问刚采取新策略时，销售额为多少？
1(x?1)2百万元，若两个月后销
9. 试证方程?xπ10sintdt?2?π2xππ? 在?内有且仅有一实根。 ,dt?02??sint?102?1xxa110. 设f(x)在[a,b]连续(a,b)可导，且f?(x)?0，F(x)?(a,b)内，有F?(x)?0。
??af(t)dt证明在