第十六讲 圆中的比例线段
圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题．下面先介绍一下圆幂定理，然后举几个例题，供同学们思考．
例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
如图3－65，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：
PA·PB=PC·PD．
PC=∠DPB，∠C=∠B．最后的条件，只要连结AC，BD即可满足，因此命题得证．
证法2 证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PA·PB为一定值，则可用勾股定理证明．为此作OE⊥AB于E，连OA，且过P作直径GH(图3－66)，则
AP·PB=(AE-PE)(AE+PE)
=AE2-PE2
=(OA2-OE2)-(OP2-OE2)
=OA2-OE2-OP2+OE2
=OA2-OP2
=(OA+OP)(OA-OP) =PH·PG(定值)． 同理，CP·DP=PH·PG(定值)．所以
PA·PB=PC·PD．
推论 弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项．
如图3－67，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA·PB． 证明留给读者．
例2(切割线定理) 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项．
如图3－68，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB．
△PCA∽△PBC， ①
为此，只须连结AC，BC，则有
∠ACP=∠CBP，∠P=∠P，
故①成立．
证法1 请读者写出．
证法2 仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题． 作OH⊥AB于H，连OA，OP，OC(图3－69)．因为PC切圆O于C，所以△PCO中，∠C=90°，所以
PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2 =PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2
=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA．
推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
图3－70中，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：
PA·PB=PC·PD．
证明由例2可直接推出．
说明 例1、例2及其推论统称圆幂定理．为什么叫圆幂定理呢？因为在例1中PA·PB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PA·PB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方．例1、例2的定值称作定点到圆的幂，因此，例1、例2统称圆幂定理．
例3 如图3－71，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG．
分析 由于FG切圆O于G，则有FG2=FB·FC，因此，只要证明FE2=FB·FC成立即可．
证 因为在△BFE与△EFC中有
∠BEF=∠A=∠C，
又 ∠BFE=∠EFC，
所以 FE2=FB·FC． 又FG2=FB·FC，所以
FE2=FG2，
所以 FE=FG．
例4 在图3－72中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．
证 因为AC，BC是⊙O的两条切线，A，B为切点，所以OC⊥AB于D．又因为OF⊥CF于F，所以
∠CDE=∠EFC=90°，
所以D，C，F，E四点共圆，所以
OD·OC=OE·OF．
又在△COA中，∠CAO=90°，所以
OA2=OD·OC，
所以 OD·OC=OE·OF=OA2．
例5 如图3－73，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：
(1)BD平分∠CBE； (2)AB·BF=AF·DC．
分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出． (2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求AB·BF=AF·DC，
证 (1)因为∠CAD=∠BAD=∠FBD，∠CAD=∠CBD，所以
∠CBD=∠FBD，
所以BD平分∠CBE．
(2)在△DBF与△BAF中，因为
∠FBD=∠FAB，∠F=∠F，