AB·BF=BD·AF．
又因为BD=CD，所以
AB·BF=CD·AF．
例6 如图3－74，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q．求证：EP2+FQ2=EF2．
分析 本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考．证过B，C，E作圆O1，设⊙O1交EF于G，连结CG．因为
∠FDC=∠ABC=∠CGE，
所以F，D，C，G四点共圆，所以
EG·EF=EC·ED， ① FG·EF=FC·BF． ②
①+②得
EF2=EC·ED+FC·BF．
又因为EP，FQ为⊙O的切线，所以
EC·ED=EB·EA=EP2， FC·FB=FD·FA=FQ2，
所以 EF2=EP2+FQ2．
练习十六
1．已知⊙O外一点P，PA是⊙O的切线，切点为A，引割线PBD交⊙O于B，D，过D引直线DE∥PA交⊙O于E，直线BC交⊙O于M点，求证：AM=PM．
2．如图3－75．AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是割线，DE⊥AO于E．
(1)求证：AD2=AE·AO；(2)求证：∠AEB=∠C．
3．如图3－76．在⊙O中，弦AB⊥QO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO于P，求证：OA2=OP·OQ．
4．如图3－77．四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：AM·BM·PN=AN·BN·PM．
5．如图3－78．AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD．
6．如图3－79．设AB为半圆直径，弦AC和BD交于E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD． (提示：作EF⊥AB于F．)