样本及抽样分布
一、填空题
1．设来自总体X的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =2.7162；
2．在总体X~N(5,16)中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X落在4与6之间的概率 = 0.9332 ；
4．设X1,X2,...,X7为总体X~N(0,0.5)的一个样本，则P(?Xi2?4)? 0.025 ；
2i?175．设X1,X2,...,X6为总体X~N(0,1)的一个样本，且cY服从?2分布，这里，
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，则c?1/3 ；
6．设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与Y1,Y2,...,Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U?的 t 分布。
7．设X1,X2,X3,X4是取自X~N(0,22)正态总体的简单随机样本且
X1?...?X9Y?...?Y2129服从参数为 9
Y?a(X!?2X2)2?b(3X3?4X4)2,，则a? 0.05 ，b? 0.01 时，统计量Y服从
?2分布，其自由度为 2 ；
8．设总体 X 服从正态分布X~N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机
2X12?...?X10样本，则随机变量 Y?服从 F 分布，参数为 10,5 ； 222(X11?...?X15)9．设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1,则Y~ F(n,1) ； 2X1)? 0.7 A10．设随机变量X~F(n,n)且P(X?A)?0.3，A为常数，则P(X?214 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,3)，而X1,?,X9和Y1,?,Y9分别是来自总体X和Y简单随机样本，则统计量U?X1???X9Y???Y2129服从 分布。t (9)
15 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32)，而X1,?,X9和Y1,?,Y9分别
X12???X92是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量V?2服从 F(9,9) 分布。 2Y1???Y9二、选择题
4．设X1,X2,...,Xn是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，
1n1n1n2222记S?(Xi?X),S2??(Xi?X),S3?(Xi??)2, ??n?1i?1ni?1n?1i?1211n； S??(Xi??)2,则服从自由度n?1的t分布的随机变量是T?（ A ）
ni?124A．
X??X??X??X?? B． C． D．
S1n?1S2n?1S3n?1S4n?15．设Fn(x)是经验分布函数，基于来自总体X的样本，而F(x)是X总体的 分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x,Fn(x)（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于F(x)C．是一个统计量 D．其数学期望是F(x) 6．设总体X服从0－1分布，X1,X2,...,X5是来自总体X的样本，X是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A．
min{X1,X2,X3,X4,X5} BX1?(1?p)XC
max{X1,X2,X3,X4,X5}
D．X5?5X
7．设X1,X2,...,Xn是正态总体N(?,?2)的一个样本，其中?已知而?2未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A．
nX1n2B．?(Xi?X) C．?(i)2 D．min{Xi}
ni?1i?1??(Xi?1n2 ??)i 8．设X1,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Yn分别来自两个正态总体N(?1,22)和N(2,5)的
2样本，且相互独立，S12,S2分别为两个样本的样本方差，则服从F(7,9)的统计量
是（ B ）
A．
S122S2 B．
5S1224S2 C．
4S1225S2 D．
5S1222S2
9．设X1,X2,...,Xn是正态总体N(?,?2)的一个样本，X和S2分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ）
A．X,S相互独立； B．X与(n?1)S2相互独立；
C．X与
1?2?(Xi?1ni?X)相互独立D．X与
21?2?(Xi?1ni??)2相互独立。
11．设X1,X2,...,Xn是正态总体N(?,?2)的一个样本，X和S2分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为n?1的t－分布的随机变量是（ C ） A．
nXnXnXnX B．2 C． D．2
SSSS 12．设X1,X2,...,Xn 是正态总体N(?,?2)的一个样本，X和S2分别为样本均值和样本方差，则（ C ） A．
X(n?1)X B．~F(1,n?1) ~F(1,n?1)22SS2222nX(n?1)X C．2~F(1,n?1) D．~F(1,n?1)
SS2三、解答题
1．设X1,X2,X3是总体N(?,?2)的一个样本，其中?已知而??0未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？
2（1）X1?X2?X3；是（2）X3?3?；是（3）X1； 是（4）?X2； 是
（5）
?Xi?13i?2；不是 （6）max{Xi}； 是（7）??X3；不是
2． 在总体N(52,6.32)中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X落在50.8与53.8之间的概率。
X?52P?50.8?X?53.8??P??1.142??1.7146.32) 解：X~N(52,6.3/636??(1.714)??(?1.142)?0.8293?
3． 对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值x与样本方差的观测值s2，由此你能得到什么结论? (1)5，2，3，5，8： x=4.6 s2?2.0592
(2)105，102， 103，105，108 x=104.6 s2?2.0592
4． 设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本X1,X2,...,Xn的概率函数或密度函数 ：
(1)X~B(1,p)； (2)X~Exp(?)； (3)X~U(0,?),??0。 解：
(1) P(X?xi)?pxi(1?p)1?xi,i?0,1
?,,Xn?xn?)?pxi P(X1?x1,X2?x2i?1n?(1p1?xi?)?p?1inxin??p(1?xii?1n) i??e??x,x?0(2) f(x)??
?0,x?0???x???ei f(x1,x2,?,xn)??f(xi)??i?1i?1?0,?nn?n???xin??ei?1,xi?0(i?1,2,?,n) ???i?1??0,xi?0(i?1,2,?,n)n?1?,??0(3) f(x)???
??0,??0?1?n, f(x1,x2,?,xn)??f(xi)???0?xi??(i?1,2?,n)
i?1??0,o.wn5. 设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本．在下列三种情形下，分别求出
E(X),D(X),E(S2).
p(1?p)E,S2(?p)?p(1 n111(2)X~Exp(?)； E(X)?,D(X)?2,E(S2)?2
?n??,X(?)(1)X~B(1,p)； E(X)?pD)(3)X~U(0,?),??0。E(X)??2,D(X)??212n,E(S)?2?212
6. 设X1,X2,...,Xn 是独立同分布的随机变量，且都服从N(0,?2)，试证： （1）
1?2?Xi?1n2i~?(n)； （2）
21n?2(?Xi)2~?2(1)
i?1n解：（1）X1,X2,...,Xn 是独立同分布的随机变量，且都服从N(0,?2)
Xi?1~N(0,1),n2iXi?n(i?1,2?n)独立，
?2?X??(i?1i?1Xi?2)2~?(n)
（2）?Xi~N(0,n?),2i?1n?Xi?1ni?n2~N(0,1)
?n??Xi1n(Xi)2??i?12?n?i?1??n?????~?2(1) ???7．设X1,X2是取自总体X的一个样本． 试证：X1?X 与 X2?X 相关系数等于-1. 解：
X1?X2111)??cov(X1,X1)?cov(X1,X2)]?(?2?0)??22222?2112D（X1?X）=D(X1）?D(X）-2cov(X1,X)=???2?2??222211同理cov(X2,X)??2,D（X2?X）=?2
22cov(X1?X,X2?X)?cov(X1,X2)?cov(X1,X)?cov(X,X2)?cov(X,X)cov(X1,X)?cov(X1,?0??22??22??22???22?X?X,X12?X?cov(X1?X,X2?X)D(X1?X)D(X2?X)???22?1 2?22n8. 设X1,X2,...,Xn是取自正态总体N(?,?)的一个样本，试求统计量?ciXi的
i?1分布，其中ci(i?1,2,...,n)是不全为零的已知常数。 解：?ciXi~N(?ci?,?ci2?2)
i?1i?1i?1nnn29. 设X1,X2,...,Xn 和Y1,Y2,...,Ym分别是取自正态总体N(?1,?12)和N(?2,?2)的样
本，且相互独立，试求统计量U?aX?bY的分布，其中a,b是不全为零的已知常数；解：
a2?12Xi~N(?1,?),i?1,2,?,n,X~N(?1,),aX~N(a?1,)nn
21?122b2?2Yj~N(?2,?),j?1,2,?,m,Y~N(?2,),bX~N(b?2,)nn
222?22a2?12b2?2aX?bX~N(a?1?b?2,?)
nn