湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题（六）
蕲春一中特级教师命制
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A?{x|y?lg(1?x)}，集合B?{y|y?x2}，则A?B=
A．（??,1） B．(??,1] C．[0,1] D．[0,1)
2.在?ABC中已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 3.某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有四位同学要求改修数学，但每班至多可再接收2位同学，那么不同的分配方案有
A．72种 B．54种 C．36种 D．18种 4.方程
x22010sin(19)0?y22010cos(19)0?1所表示的曲线是
A．双曲线 B．焦点在x轴上的椭圆
D．以上答案都不对
????5.已知向量a?(1,n),b?(m?n,m)(m?0,n?0)，若a?b?1，则m?n的最小值为
A．2 B．
2?1 C．3?1 D．3
C．焦点在y轴上的椭圆
6.设直线x?ky?1?0被圆O：x2?y2?2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x-y-1=0位置关系为
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 7.若关于x的方程x|x?a|?a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为
A．(0,4) B．(?4,0) C．(?4,4) D．(??,?4)?(4,??) ?x?3y?7?0?8.已知实数x,y满足约束条件?x?1则|y-x|的最大值是
?y?1?A．3 B．4 C．
2?4i1?i322 D．22
1an?an?19.已知复数z?的实部与虚部分别是等差数列{an}的第二项与第一项，若bn?数列{bn}的
前n项和为Tn，则limTn=
n??A．
14 B．
12 C．
23 D．1
10.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保
- 1 -
持MN//DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是
y y y y x A A1 D1 C1 B1 x x x O O O O
A B CD
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。
教育博客M D B
C N 11.已知随机变量?服从正态分布N（(1,?2)，且P(???2)?P(??6)?0.2008， 则P(?4???4)?_________________
553101012.设?,?均为钝角，sin??,cos???，则???=_______________
13.已知(1?2x)10?a0?a1x?a2x2?????a9x9?a10x10则10a1?9a2?????a10?_____________
x214.已知O为原点，从椭图
100?y24?1的左焦点F1引圆x?y?4的切线F1T交椭圆于点P，切点T
22位于F1、P之间，M为线段F1P的中点，则|MO|?|MT|的值为_________________ 15.给出下列命题：
①函数f(x)?sinx?|sinx|(x?R)的最小正周期是2?； ?acosx,x?0② 已知函数f(x)??2在x?0处连接，则a??1；
?x?1,x?0③ 函数y?f(x)与y?1?f④ 将函数y?tan(?x?重合，则?的最小值为
三、解答题（共75分）
16?1(1?x)的图象关于直线x?y?1?0对称；
????)(??0)的图象按向量a?(,0)平移后，与函数y?tan(?x?)的图象466，你认为正确的命题有： 。
??16.如图，B为?APC的边AC上的一点，且AB=BC=a，?APB?90，?BPC?45，?PBA??.
（1）求tan?的值；
????????（2）求PA?PC的值.
A P B C 17.口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：
① 若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则改换为由对方进行下一次摸球；
- 2 -
② 每一个摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球，求在前三次的摸球中： (1) 乙恰好摸到一个红球的概率； (2) 甲至少摸到一个红球的概率；
(3) 甲摸到红球的次数?的分布列及数学期望.
18.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，?BAC?90?， AB=a,AC=2,AA1=1,点D在棱B1C1上且B1D：DC1=1：3
（1）证明：无论a为任何正数，均有BD?A1C； （2）当a为何值时，二面角B—A1D—B1为60?.
B B1 A A1 D
C1
C
19.设函数f(x)??x3?2mx2?m2x?1?m（其中m??2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行.
（1）求m的值； （2）求函数f(x)在区间[0，1]的最小值； （3）若a?0,b?0,
20.在直角坐标平面中，?ABC的两个顶点的坐标分别为A(???????????????????满足MA?MB?MC?0,|NC|?????7|NA|?0c?且a?b?c?1，试根据上述（1）（2）的结论证明:
a1?a2?b1?b2?c1?c2?910.
77a,0),B(77a,0)(a?0)，两动点M、N
?????????????MN与AB共线. 7|NB|，向量
（1）求?ABC的顶点C的轨迹方程；
????????（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求PE?PF的取值范围.
?为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，（3）若G（-a,0），H（2a,0），则是否存在常数?（??0），
使得?QHG???QGH恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由.
1221.已知数列{an}满足a1?，an?1?(n?1)(2an?n)an?4n(n?N?).
（1）求a2、a3、a4；
?an?tn?（2）是否存在实数t，使得数列??是公差为?1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明
?an?n?理由；
（3）记bn?3
1n?22(n?N?)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn??23?112.
?an?2- 3 -
参考答案
一、选择题：
1—10 DBBCC CDABC 二、填空题：
7?11.0.7992 12. 13.?20 14.10?223 15.①②
4三、解答题
16.解:（1）??APB?90?,AB?a,?PBA??，?PB?acos?.又在?BPC中，BC=a，?BPC?45?
??BCP???45，??asin45??PBsin(??45)?,?asin45??acos?sin(??45)?，?sin45?cos??sin(??45?).
?sin??2cos?.tan??2.
（2）由（1）知sin??2cos?，又sin2??cos2??1，?sin??255，cos??55. ?PA?asin??25a55a52,PB?acos??5a5.在?BPC中，BC?a,PB?5a5，
?PC?a?(22)?2a?5a5cos(???)?8a52,?PC?210a5.
2????????????????25a210a24a?从而PA?PC?|PA|?|PC|cos135?. ??(?)??552517.解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?2344?8?13，
且A，B相互独立.
13?23?13?23?13?23?29（1）乙恰好摸到一个红球的概率为P1?P(A?A?B)?P(A?B?B)?（2）因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为
P?P(A?B)?P(A?B?A)?P2?1?P?1?1427?132723?1.
2314?()?，所以甲至少摸到一个红球的概率为 3327.
（3）根据题意，?的可能取值为0，1，2，3，其中
P(??0)?P(A?B)?P(A?B?A)?2314?()?， 333271222110P(??1)?P(A?A)?P(A?B?A)???()??，
333327?1222131P(??2)?P(A?A?A)?()??，P(??3)?P(A?A?A)?()?.
3327327
- 4 -
21
故?的分布列为(略),数学期望E??0?1427?1?1027?2?227?3?127?1727.
18. 解：（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz，
????????a1则D(a,,1),A1(0,0,1),B(a,0,0),C(0,2,0),BD?(?,,1),A1C?(0,2,?1)，
4242????????????????a1即BD?A1C.故无论a为任何正数，均有BD?A1C.. ?BD?A1C?(?,,1)?(0,2,?1)?0,?BD?A1C，
42????????????????31（2）A1D?(a,,0),A1B?(a,0,?1)，设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n?A1D，
4231?313?????????????n?AD?ax?y?0y??ax13??1，即?，取n?(,?,1). 又平面A1B1D的一个法向42n?A1B，故?2?????a2?z?ax?n?AB?ax?z?0??1????????m?n??量为m?(0,0,1).?cosm,n???|m|?|n|11232()?(?)?1a2?11a2?134???，结合图形知m,n与二面
????角B—A1D—B1相等，即m,n?60，?11a2?134?12，解得a?233，故当a?233时，
二面角B—A1D—B1为60?.
19. 解：（1）因为f?(x)??3x2?4mx?m2，所以f?(2)??12?8m?m2??5，解得m??1或m??7（舍），即m??1.
2（2）由f?(x)??3x?4x?1?0，解得x1?1,x2?13. 列表如下：
x f?(x) f(x) 0 2 （0，13） 13 （13，1） + 1 2 — 最小值150275027.
所以，函数f(x)在区间[0，1]的最小值为f()?322（3）因为f(x)??x3?2x?x?2?(1?x)(2?x)，由（2）知，当x?[0,1]时， 有不等式(1?x)(2?x)?25027，所以
11?x2?2750(2?x),即
x1?x2?2750(2x?x).
2当a?0,b?0,c?0，且a?b?c?1时，0?a?1,0?b?1,0?c?1， 所以
a1?a2?b1?b2?c1?c2?2750[2(a?b?c)?(a?b?c)]?2222750[2?(a?b?c)].
222 - 5 -