观察一下上面的表格，我们不难发现：相比于非金属，金属有着非常高的F[0]值。钢是一种非常暗的金属，它在0度时反射了入射光的百分之50还多。还记得吗，金属没有任何的次表面反射，一种亮的specular颜色和缺乏diffuse颜色是区别金属的视觉特性。另一方面，钻石，一种最亮的非金属物质，在0度时只是反射了入射光的百分之17。而大多数非金属都大大的低于该值。非常少的材质有处于百分之20到40之间的值，这些典型的是半导体和其他奇特的材质，他们不大可能出现在产品级着色中。对于低于百分之2[比如水]的材质也是相同的。事实上，排除金属，宝玉石，和水晶，你在实验室之外可能看到的绝大多数的材质其F[0]值的范围都是很窄的 --- 介于百分之2到百分之5之间。
法线分布项 --- Normal Distribution Term
在多数表面上，微面元的朝向并非均匀的分布着。法线接近宏观表面法线的微面元表现出更高的频率。精确分布通过微面元法线分布函数D[m]来定义。不同于F[ ],D[ ]的值并非限于0到1之间---虽然值必须为非负，它们却可以是非常的大。同样不同于F[ ]，函数D[ ]并非光谱的或者RGB值的[not spectral or RGB-valued]，它是标量值的[scalar-valued]。在微面元的BRDF项中，D[ ]是针对h方向来计算的，为了确定活动微面元[那些m=h的微面元]的集中度。这就是为什么法线分布项作为D[h]出现在了BRDF公式中。
函数D[ ]决定了specular高光的大小，亮度和形状。几种不同的法线分布函数出现在了图形学文献中，所有的函数都像是Gaussian分布，但带着一些‘粗糙’['roughness']或者变化参数[各向异性函数典型的有两个变化参数]。
当表面的粗糙度减少，围绕整个表面法线n的微面元法线m的集中度增加，而D[m]的值可以非常的高[在限度内，对于一个理想的镜面，这个值在m=n时趋于无限]。Walter et. al.讨论了该分布函数的校正归一化，并且给出了几个实例，更多的例子可以在其他文献中找到。
阴影-遮挡项 --- Shadowing-Masking Term
阴影和遮挡项G[l,v,h]在BRDF文献中也通常被称为几何体项[geometry term]。函数G[l,v,h]表示带有一个给定法线m的微面元会被从光方向l和视线方向v都可见的概率。在微面元BRDF中，m被h所取代[基于与前两个项的相同原因]。因为函数G[ ]代表一种概率，它的值是标量且被限定在0到1之间的范围内。就像D[ ]一样，G[ ]在文献中也有着击中不同的解析表达式。这些是基于表面的简化模型的典型近似。G[ ]函数典型的没有引入任何新的参数到BRDF中，它要么没有参数，要么使用D[ ]函数的粗糙参数。在很多情况下，阴影-遮挡项部分的抵消掉BRDF公式中的[n.l][n.v]分母项，而以诸如max(n.l,n.v)的其他表达式来替代。
阴影-遮挡项对于BRDF的能量守恒原则是必不可少的 --- 没有这样的项，BRDF能够反射比它接受的任意多的光能量。微面元BRDF的一个重要的部分就是活动面积[微面元中将光能量从l方向反射到v方向的联合面积]和整个面积[宏观表面的]的比率。如果阴影和遮挡不被考虑，那么活动面积可能会大大超过总的面积，这是一个会导致BRDF非能量守恒的显然不可能的情况，请看图25。
微面元模型 --- Microfacet Models
对于D[ ]和G[ ]函数的选择是独立的，它们可以被混合起来并且和不同的微面元模型匹配。多数文献提出一种新的微面元BRDF模型都是提出了一种新的D[ ]或者G[ ]函数。一旦D[ ]和G[ ]函数被选择了，那么整个BRDF就通过选择参数值来确定了。微面元BRDFs有着紧凑的参数化，典型的只有1个RGB值[Cspec]和一个标量值[粗糙度]，粗糙度值在各向异性BRDFs中为两个。
次表面反射(Diffuse 项) --- Subsurface Reflectance (Diffuse Term)
虽然在文献中有多种次表面局部反射模型，迄今为止被广泛使用的最多的一个模型就是Lambertian BRDF term。Lambertian BRDF实际上是一个常量值，著名的余弦或者[n.l]因子是反射公式中的一部分，而非BRDF公式。 Lambertian BRDF的精确值是
这里Cdiff是光被漫反射的部分。就像Cspec一样，它是一个RBG值，R,G,B都被限定在0到1之间范围内，且非常接近于通常人们所认为的'表面颜色'[surface color].这个参数典型的被作为diffuse color。
非Lambertian漫反射项尝试着在glancing angles处对specular和diffuse项之间进行权衡而建模，或者对表面粗糙度的尺度大于发散距离时的效果进行建模。
三、 实现着色 --- Implementing Shading
在前面的章节中，我们看到了被引入用以描述表面着色的典型数学模型。在这一节中，我们会讨论这些模型在电影和游戏产品渲染器中如何实现。
通用光照 --- General Lighting
在最通常情况下，BRDF必须针对从所有不同方向上入射光进行集成。这不只是包括主要光源[有面积]还包括天光[skylight]和场景中其他对象的精确反射。为了完全解决这些，就需要全局照明算法。这些算法的详细描述超出了这次讲座的范围，更多细节可以在参考文献中找到，也可以在Adam Martinez的讲座---Faster Photorealism in Wonderlnd: Physically-Based Shading and Lighting at Sony Pictures Imageworks 找到。
精确光源 --- Punctual Light Sources
虽然这样非常受限制，但是产品级光照环境通常由一个或者多个精确光源组成。它们是经典的计算机图形点光源，方向光源和聚光光源[更多复杂的变种也被用到了]。因为它们是无限小和无限亮，它们并非物理实现的或者物理真实的，但是他们在很多情况下带给产品合理的结果并且计算起来非常方便。精确光源通过光颜色Clight和光方向矢量Lc来参数化。为了美工的方便性，Clight并不与光强度的一个直接辐射度测量相对应，它被作为一个白色Lambertian表面被光从一个平行于表面法线[Lc=n]的方向照明时所拥有的颜色所确定。就像其他我们所看到的颜色量，Clight是光谱[RGB]值，但是不同于我们之前所看到的，Clight的范围并没有被限制。
精确光源的主要优点在于---它们大大简化了反射公式。我们会定义一个以
Lc为中心点的微小的面光源，该面光源有一个小的角度范围e。该微小面光源照明一个着色的表面点，入射的辐射函数是Ltiny[l].这个入射辐射函数有着以下两个属性---
第1个属性表示，角度超出e范围外的任何光方向都没有光入射进来，换句话说，光源在超出其角度范围e之外不会产生任何光照。
第2个属性则来源于Clight的定义，应用公式1和公式7，并且设置Cdiff = 1。公式9仍然满足这么一个极限，当e逐渐趋于0时 ---
因为Lc = n，并且e ---> 0，我们可以假设（n .l ) = 1， 这样我们就得到：
注意在公式11是独立于Lc的，所以它对于任何合理的光朝向都是为真的，而并非只限于Lc = n。简单的重组将极限中的积分项分离开来，得到 ----
现在我们应用我们的微小面光源到一个通用BRDF，并且当e趋于0的极限时观察其行为 ---
用公式12替换公式13的右侧部分，我们得到最终精确光源公式 ---
和原本的反射公式相比较，我们用一个直接的BRDF计算式取代了积分式，这样计算起来非常简单。注意，在点积(n.Lc)下的横线，这是钳制到0的表示法。点积被钳制，以处理在表面之后的精确光源，这些光源的贡献应该为0（而不应该是负值贡献）。
在平行光源（比如太阳光）的情况，Lc和Clight在整个场景中都是常量。在其精确光源类型比如点光源和聚光光源的情况下，两者都可能发生改变。在现实中，Clight会以与距离平方的倒数成正比例产生衰减，但是事实上其他的衰减函数常常被使用。
如果多个精确光源照明某个表面，公式14被多次计算，然后计算的结果进
行累加。精确光源(Punctual light sources)很少单独的使用，因为如果只是单独的使用它们，那么从其他方向而来的任何照明的不足是明显易见的，特别是高度specular的表面。因为这样，精确光源典型的与一些类型的环境色或者环境光照结合使用，这些类型的光照会在后面提及。
环境光照 --- Ambient Lighting
这里我们定义环境光照为一些低频光照的数值表示，从单个常量值的光颜色和在所有入射方向上的强度，到更为复杂的表示比如spherical harmonics (SH)。通常，这些类型的光照环境只是应用于diffuse的BRDF项，更加高频的基于图像的光照(image-based lighting)被应用于specular项。但是，将环境光照环境应用于specular的BRDF项是有可能的。本课程中，Yoshiharu Gotanda的讲座---Practical Implementation of Physically-Based Shading Models at tri-Ace给出一种常量和SH环境光的specular实现，Bungie最近一篇文章中讨论了将Cook-Torrance specular项应用于SH光照，ShaderX7中Sch?uler 的一篇文章描述了一种基于物理使用半球光照(hemispherical Lighting)的specular项的实现方法。
基于图像的光照 --- Image-Based Lighting
基于图像的光照典型的以环境图来完成。这些图表示远处的光照。如果他们在一个合适的参考点进行采样（比如，以一个对象的中心点），它们可以是一种反射远处对象的很好的表示方法。如果想通过使用一种通用的BRDF和一张环境图正确的处理局部着色，则需要更多的采样点。重要点采样（Importance sampling）帮助我们将采样的数量保持在一个可管理的范围（至少对于电影渲染如此）。另外有一种可以使用的方法，要么单独使用它（一种近似的解决方法，但是适合于游戏），或者结合重要点采样（Importance sampling），就是预过滤的环境图。关于重要点采样（Importance sampling）的更多信息可以在本年度的另一个课程中找到，同样可以在本课程中的Adam Martinez的讲座中找到。其他应用于电影产品中的基于图像光照的方面知识会在本课程中Ben Snow的讲座 ---- Terminators and Iron Men: Image-Based Lighting and Physical Shading at ILM中进行讨论，一些关于游戏中使用环境图进行着色的方面在Naty Hoffman的另一篇讲座--- Crafting Physically Motivated Shading Models for Game Development会进行讨论。
四、 延伸阅读（Further Reading）
\Rendering\第三版中的第7章提供了一个关于基于物理着色模型的综览，比本课程中介绍得更加深入。如果想更深入的了解，可以考虑阅读Glassner的Principles of Digital Image Synthesis，或者Dorsey, Rushmeier, and Sillion编著的Digital Modeling of Material Appearance。
Dutre的免费在线的Global Illumination Compendium是关于BRDFs、辐射度
数学、和其他知识的有用的参考。
五、 鸣谢（Acknowledgments）
作者想要感谢A K Peters允许使用Real-Time Rendering, 3rd edition书中的图片，并且同样感谢Paul Edelstein, Yoshiharu Gotanda 和Dimitar Lazarov在基于物理着色模型方面所激发出的很多想法。