高三文科月考数学答案
一、选择题
DCBDCD BDCDAA
二、填空题
13．2 14.43?
15.
436 16.(,) 322三、解答题17.（本题满分12分)
解：(1)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个． 2分
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个．5分
3
故由古典概型公式得P(A)＝10. 6分
(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27，3 ＝972，3 ＝432，∑xy＝977，i＝1ii
2∑x＝434， 8分 ii＝13
2
3
所以＝
977－9725
＝，
434－4322
5
＝27－2×12＝－3， 9分 所以y关于x的线性回归方程为 5
＝2x－3. 10分 (3)依题意得，
当x＝10时，＝22，|22－23|＜2；
当x＝8时，＝17，|17－16|＜2，
所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的． 12分
18.（本题满分12分)
解：(1)当n＝1时，2S1＋3＝3a1，∴a1＝3. 1分 当n≥2时，2Sn＋3＝3an，2Sn－1＋3＝3an－1，
∴2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1， 3分 ∴an＝3an－1(n≥2)．
6
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列 5分 ∴数列{an}的通项公式为an＝3n. 6分 bnlog33n?1?n
(2)证明：由(1)得a＝3n＝n?3?， 7分
??nb1b2bn∴Tn＝a＋a＋?＋a 1
2
n
?1?1?1?2?1?n－1?1?n＝?3?＋2×?3?＋?＋(n－1)×?3?＋n×?3?，① ????????8分
1?1?2?1?3?1?n?1?n＋1∴3Tn＝?3?＋2×?3?＋?＋(n－1)×?3?＋n×?3?，②
????????9分
由①－②得
2?1?1?1?2?1?3?1?n?1?n＋1
?????????? 3Tn＝?3?＋?3?＋?3?＋?＋?3?－n×?3?1?1?1－?3n?3×???1?n＋1
??＝
1－n×?3?1－3
1?1??1?n＋1
＝2?1－3n?－n×?3?， 11分
????33＋2n3∴Tn＝4－<. 12分
4×3n4
19.（本题满分12分)
解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，∵点G为CF的中点，∴OG为△AFC的中位线，
∴OG∥AF. 2 分 ∵AF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AF∥平面BDG. 4分 (2)证明：如图，连接FM，
∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，
∴BG⊥CF. ∵CM＝2，∴DM＝4.
∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形， ∴EF∥DM.又EF＝4，
∴四边形EFMD为平行四边形，
7
∴FM＝DE＝2，∴△FCM为正三角形， ∴MG⊥CF. 6分 ∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM. ∵CF?平面BFC，
∴平面BGM⊥平面BFC. 8分
11
(3)VFBMC＝VFBMG＋VCBMG＝3S△BMG·FC＝3S△BMG×2，
由(2)易得GM＝BG＝3，BM＝22，
1
∴S△BMG＝2×22×1＝2，
222
∴VFBMC＝3S△BMG＝3. 12分
20.（本题满分12分)
?y?x,2
【解析】(1)联立方程?2得x-2px=0,
?x?2py,故O(0,0),N(2p,2p), 2分 所以|ON|=4p2?4p2?22p, 4分 由22p=42,得p=2,
所以抛物线C的方程为x=4y. 6分
(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为
2
1M(?,0), 7分
k设点A(x1,y1),点B(x2,y2),
?y?kx?1,2由?2得x-4kx-4=0, ?x?4y,所以Δ=(4k)-(-16)=16(k+1)>0, 所以x1+x2=4k,x1·x2=-4. 8分 由
=a
,得(x1?2
2
1,y1)=a(-x1,1-y1), k所以a?y1kx?1kx?1??1,同理可得b??2. 10分 1?y1kx1kx2kx1?1kx2?1x?x1?)??(2?2)??1, kx1kx2kx1x2所以a+b=?(所以对任意的直线l,a+b为定值-1. 12分
21.（本题满分12分)
8
x－ee
解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋x，则f′(x)＝x2， ∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
e
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋e＝2，∴f(x)的极小值为2. 4分
x1mx
(2)由题设g(x)＝f′(x)－3＝x－x2－3(x＞0)，
1
令g(x)＝0，得m＝－3x3＋x(x＞0)．
1
设φ(x)＝－3x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．
2
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝3. 6分 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知
2
①当m>3时，函数g(x)无零点；
2
②当m＝3时，函数g(x)有且只有一个零点； 2
③当0＜m＜3时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
2
综上所述，当m＞3时，函数g(x)无零点；
2
当m＝3或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
2
当0＜m＜3时，函数g(x)有两个零点． (3)对任意的b＞a＞0，
f（b）－f（a）
＜1恒成立，8分
b－a
9
等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．(*)
m
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋x－x(x＞0)．
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 10分
1m
由h′(x)＝x－x2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， ?1?21
得m≥－x＋x＝－?x－2?＋4(x＞0)恒成立，
??
2
111??
∴m≥4?对m＝4，h′（x）＝0仅在x＝2时成立?，
??
?1?
∴m的取值范围是?4，＋∞?. 12分
??
22. （本题满分10分)
解：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，
两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)， 则C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2. 5分
(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0， 点E对应的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，
所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝10分
23. (本题满分10分)
（t1＋t2）2－4t1t2＝
5.
?－x＋3，x<－3，
解：(1)f(x)＝?－3x－3，－3≤x≤0，
?x－3，x>0.
当x<－3时，由f(x)≤7得x≥－4，则－4≤x<－3；
10
当－3≤x≤0时，由f(x)≤7得x≥－3，则－3≤x≤0； 当x>0时，由f(x)≤7得x≤10，则0 (2)由f(x)的表达式及一次函数的单调性可知，f(x)在x＝0时取得最小值－3，则不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解只需－3＋|2t－3|≤0，解得0≤t≤3，所以t的取值范围是[0，3]． 10分 10 11