一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为f(x;?)?e??x(x?0)其中，?为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为(x1,x2?xn)，求参数?的极大似然估
??解：利用极大似然估计的方法，可以得到?n?xi?1n?1
xi二：假设某保险业务的累积损失S服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。 解：
E(S)??E(X)?20?100?20002VAR(S)?VAR(X)E(N)?VAR(N)?E(X)??20(1002?1002)?400000
分位数=E(S)?2.326?VAR(S)?3471
加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。 解： 令Y??0，X?20为保险人的赔款随机变量
?X?20，X?20??20E(Y)?E(X?20X?20)??(x?20)0.2e?0.2xdx?5e?4
三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设?的先验分布为p(??1)?0.6,p(??2)?0.4，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率?的后验分布。 解：P(x?4?)??44!e?? P(x?4??1)?1?116?2e P(x?4??2)?e 2424e?1?0.624P(??1x?4)??1?0.2031
e16?2?0.6?e?0.4242416e?2?0.624P(??2x?4)??1?0.7969
e16?2?0.6?e?0.42424E(?)?P(??1x?4)?1+P(??2x?4)?2=1.7969
四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布 解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元，
解：fs(0)?e???e?0.2?0.818731 ，fs(1)??fX(1)fS(0)?0.2?0.8?e?0.2?0.130997
fs(2)??2(fX(1)fS(1)?2fX(2)fS(0))?0.043229
依次类推得其他计算结果如下表 x fS(x) 0 1 2 0.818731 0.130997 0.043229 FS(x) 0.818731 0.949728 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999 五：假设某保险人签发了两份保单A和B，每份保单可能发生的损失额及相应的概率如下表： A B 损失额 概率 损失额 概率 0 0.600 0 0.7 200 0.2 2000 0.3 2000 0.06 20000 0.1 20000 0.04 求累积损失概率。 解：保险公司的累积损失及概率 损失 概率 A的损失 B的损失 A+B的损失 六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000年为200千元，2001年为250千元，2002年为300千元，最近几次的费率调整如下表， 费率调整日期 调整幅度 10% 1998年7月1日 8% 1999年7月1日 10% 2001年7月1日 请计算以该表最新的费率水平表示的2000-2003年的已赚保费。 解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1.08*1.09?1.1772，2000年的相对费率为1*12.5%?1.08*87.5%?1.07，2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。
经验损失数据 风险类别 当年的相对费率 当年的保费收入 过去三年的等水过去三年的经验平已赚保费 损失 A 1 6000 16000 4800 B 1.2 6500 15000 3500 C 1.3 5500 15000 3200 yp2360000?0.4,查表可知()?384 解：有实际赔付经验可知?km15002因此完全可信性所需的索赔次数不能小于nF?384(1?0.4)?445
?又由于每份保单的索赔频率为0.03，所以发生445次索赔所需要的保单数为445/0.03=14848 十、假设某险种的保险期限为1年，新费率的生效日期是2005年7月1日，目标赔付率为60%，如果每年按5%的速度增长，请根据下表计算费率的调整幅度。 经验费率 保单年度 根据当前费率计算的保费 最终赔款 权重 2003 2000 1000 0.3 2004 3000 2000 0.7 解：2003年签发的保单，其赔款平均在2004年1月1日支出。 2005年7月1日签发的保单，其赔款平均在2006年7月1日支出。
因此把2003年的保单年度的最终赔款调整到2006年7月1日得水平即为
1000?1.052.5?1129.73，同样把2004年保单年度的最终赔款调整到2006年7月1日的
1.5.86 水平即为2000?1.05?2151保单年度 根据当前费率计算的保费 最终赔款 权重 经趋势调整后的最终赔款 1129.73 2151.86 经验赔付率 2003 2000 1000 0.3 0.5649 2004 3000 2000 0.7 0.7173 平均经验赔付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716 费率上调幅度=0.6716/0.6=12%
十一：已知两个风险A和B的损失金额服从下述分布，，其中风险A发生损失的概率是风险B的两倍，如果已知某个风险在某次事故的损失额为300元，求该风险下次损失额的BL估计。 损失额 风险A的概率分布 风险B的概率分布 300 0.5 0.6 3000 0.3 0.3 70000 0.2 0.1 解：
1E(x)?(2)?E(x??1)?(E(x??2))?12726.73321a?(15050?12726.7)2?(8080?12726.7)2?10795755.56
33VAR(X??1)?0.5?(300?15050)2?0.3(3000?15050)2?0.2(70000?15050)2?756242500 VAR(X??2)?0.6?(300?8080)2?0.3(3000?8080)2?0.1(70000?8080)2?427467600??21?756242500??427467600?646650866.7 33?nk??59.899 z??0.0164 2an?k信度估计值为zX?(1?z)??12522.65
十二、已知有四个风险等级的被保险人，每人可能发生的损失为2或者4，其分布如下表所示，随机选定某一风险等级，并且从中选取四个被保险人，总的损失为4，如果从同一风险等级中再抽取一个被保险人，请用bl-s信度模型估计这5个被保险人的总损失。 解： 类别 概率 均值 方差 2.2 0.36 一类 14 2.6 0.84 二类 14 三类 四类 14 14 143 3.6 1 0.64 ??2.85，??0.71，a?(2.22?2.62?32?3.62)?2.852?0.2675
4?0.6011 0.714?0.2675??zX?(1?z)??1.738 x??8.69 5xz?n?n?k十三、假设不同被保险人的索赔频率相互独立，每个被保险人在每月的索赔次数服从泊松分布，不同被保险人的泊松参数互不相同，泊松参数服从伽马分布，其密度函数为
(100?)6e?100?f(?)?，假设保险人在过去4个月份的经验数据如下表所示，请应用bl-s
120?模型估计保险人在下个月的索赔次数。
十四
十六：已知 100个人投保，这些投保的个体有相互独立的索赔，索赔的均值和方差按照性别分别如下表： 均值 方差 2 4 男性 2 10 女性 设S为总的索赔量，总的保险费按照E(S)?2D(S)收取，这100个成员中，男女性别个数未知，设男性有N个人，N服从二项分布，b(100,0.4)。求总保费为多少？
,0.4)，则总索赔解：设X表示男性索赔，Y表示女性索赔，N表示男性个数，N~b(100为男、女之和，即
S?X1?X2???XN?YN?1?YN?2???Y100 E(X)?2，D(X)?4 E(Y)?4，D(Y)?10
则E(S)?E(E(SN))
?E(NE(X)?(100?N)E(Y)) ?400?2E(N)
=320
D(S)=E(D(SN))?D(E(SN))
?E(ND(X)?(100?N)D(Y))?D(NE(X)?(100?N)E(Y)) ?760?96?856
所以总保费为E(S)?2D(S)=378.5
十七、设??2，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4，计算总索赔S的分布f(S?x),x?0,1,2,3,4的概率。
一：一般解法： f(x)?P(S?x)??P(S?xN?n)P(N?n)
n?0? ?经计算为 X 0 1 2 3 4 N ?Pn?0?*n(x)P(N?n)
P*0(x) 1 0 0.1353 P*1(x) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 1 0.2707 P*2(x) 0 0 0.01 0.04 0.1 2 0.2707 P*3(x) 0 0 0 0.01 0.06 3 0.1804 P*4(x) 0 0 0 0 0.001 4 0.451 f(x) 0.1353 0.02707 0.05683 0.09222 0.13688 ?nn!e?? 方法二：S?x1N1?x2N2?x3N3?x4N4
其中，Ni服从参数为?pi的泊松分布，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4 列成下表进行计算 X 1N1 0 1 2 3 4 0.8187 0.16375 0.016375 0.00109 0.000055 0.2 2N2 0.6703 0 0.2681 0 0.0536 0.4 3N3 0.5488 0 0 0.3293 0 0.6 4N4 0.4493 0 0 0 0.3593 0.8 P（S?x） 0.1353 0.02707 0.05683 0.09222 0.13688 ?i P(Ni?x) (0.2)xe?0.2(0.4)xe?0.4(0.6)xe?0.6(0.8)xe?0.8 x!x!x!x!十八：由100000张同类医疗保单的组合，设被保险人的损失是相互独立的，保单规定保险人只赔付被保险人所发生损失的80%，设在保险期间内可能发生的损失都服从分布 X 0 50 200 500 1000 10000 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 P(X?x) 0.3 若要求所收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过5%，试确定安全附加保费 100000解：设损失变量为L?100000?Xi?1i，则理赔变量为
S?0.8L?0.8?Xi?1i，又设安全附加费为?，则保费总额为G?(1??)E(S)则根据题意
E(S)?1060*100000
D(S)?5439120?100000??E(S)?S?E(S)?E(S)?????() 有P??D(S)?D(S)??D(S)?所以安全附加保费为1.645*5439120*100000=1213193.9
十九：一个保险公司为投保人提供三种保险，其特征见下表： 种类 人数 索赔概率 个体赔付期望 1 500 0.05 5 2 1000 0.1 10 3 500 0.15 5 已知对于每一个投保人，在索赔发生的条件下，个体索赔量得期望与方差相等，且保险供给将收取纯保费的(1??)倍为保费，求相对附加保费?使得P(S?(1??)E(S))?0.05成立。