实验案例 预测战争模型
在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester提出了预测战争结局的数学模型。根据战争的不同特性，他给出了三种作战模型。在建立模型时，简化了许多因素，模型变得简单，但仍有一定的实际意义。
现考虑X、Y两方孤立交战的部队，双方均无增援部队的情况。希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
1.预测哪一方将获胜？
2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？ 4.战斗的持续时间。
假定X部队t时刻存活的士兵数为x(t)，而Y部队在t时刻存活的士兵数为y(t)，将x(t)与y(t)都看作连续变量。并假定双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，即不考虑俘虏和伤员。
关于双方的作战伤亡情况，一种合理的假设是，在Δt时间内，X部队被杀死的士兵数Δx将取决于Δt的长短，以及在Δt起始时刻与其交战的Y部队的士兵数。假定是一种正比关系，即
Δx=－ayΔt
其中a是一个常数，，代表了Y部队的战斗力，称为“杀伤率”，更明确地说，a是Y部队的一个士兵在单位时间内杀死X部队的名士兵数。类似地，对于Y部队有
Δy－axΔt
令Δt?0，得到两个微分方程
dx??ay, ( a>0) dtdy??bx, ( b>0) dt从而得到联立微分方程组如下：
?dx(a?0),?dt??ay,??dy??bx,(b?0) (6.3.4) ??dty(0)?y0.?x(0)?x0,?? 对联立微分方程组(6.3.4)中的任一方程进行积分，直接求出方程的解是很困难的也无必要。
根据作战的实际背景，可以分析出以下几点：方程组里的变量满足x≥0，y≥0，有唯一平衡点（0，0）； x(t)，y(t)都是递减函数，且随着x，y的减小，其衰减速度也在降低。
在我们的模型中，若有一方部队的士兵数为零，就标志着战斗的结束。 将两个方程相除消去时间变量t，得
dybx? dxayybxd x可分离变量 ayd?对两边积分得到
ay2bx2c?? 222或者 ay?bx?c
代入初始条件，有
22ay02?bx02?c
22 a(y2?y0)?b(x2?x0) （6.3.5）
在相平面（xy平面）上，轨线是双曲线的一部分。
为预测何方部队获胜，将剩下多少士兵，先考虑一种特殊情况。战斗开始时双方投入兵力满足 ay0?bx0，解曲线方程（6.3.5）化为
bx a方程的轨线是一条过原点，斜率为b/a的直线，称为等战斗力直线。这种情况下，战斗将无情地从（x0，y0）点进行到（0，0）点，表明这是一场势均力敌的，导致相互毁灭的战争。
22若ay0，可从相位图观察到点（x0，y0）位于等战斗力直线的左上方，?bx022 ay2?bx2 或 y?可以判断Y部队将获胜，在轨线方程中令y=0可以验证这个结论，若令x=0 , 得
22y?(ay0?bx0)/a，
即为根据模型预测出的Y部队获胜时的幸存士兵数。
如果战败的一方希望转败为胜，那么开始他们应投入多少兵力呢？ 现假设双方初始兵力分别为x0=10000，y0=5000，，假设在一个小时（单位时间）内每个Y部队的士兵杀死0.15个X部队士兵，而X部队的每个士兵在一个小时内杀死0.1个Y部队士兵，则方程组（6.3.4）为
?dx?dt??0.15y,??dy???0.1x,（6.3.6） ?dt,y(0)?y0?5000,?x(0)?x0?10000??22)2?3.75?106，bx0?0.1?(10000)2?10?106，有 由于ay0?0.15?(500022bx0?ay0?0，模型预测X部队将获胜，Y部队若要获胜最初投入兵力y0必须
b2b20.1122满足y0?x0，即应满足：y0?x0??100002??108或 y0>8165。
aa0.153怎样估算战斗的持续时间不太容易，现在先不去求解方程组，用分析方法做
出估计。
有
dy??0.1x0??1000， dtt?0意味着战斗开始时Y部队的士兵以每小时1000人的速度被歼灭，如果一直持续这种速度，仔细思考实际情不会如此，因为X部队的士兵数也在减少，故战斗至少持续5000/1000=5（小时）。
战斗结束时X部队余下的士兵数为
22(bx0?ay0)/b?10?106?3.75?106?7906名。
此时，Y军队士兵被歼灭的速度为 dy??0.1?7901??790.1 dt结束 这是Y部队士兵被歼的最慢速度，若保持不变，有
y =－790.1t + 5000,
令y=0, 解得t=5000/790.1≈6.32小时，应为Y部队被歼灭的最长时间。分析结果表明，战斗会持续5～6.32小时，取中间值约为5.7小时。
通过求解微分方程组可得到确切的答案。将方程组（6.3.6）的第一个方程
两边微分，得
?2dy?2??0.15,?dtdt? dy???0.1x.??dtd2x?0.015x?0 dtdx把其中的第二个方程代入第一方程，有
二次积分得到方程的解为
x?Ae0.015t?Be?0.015t，t≥0， （6.3.7）
其中A和B是积分常数，代入初始条件x0=10000，y0=5000，并令t=0,有
A+B=10000 （6.3.8）
对解函数（6.3.7）两边求导
dx?0.015[Ae0.015t?Be?0.015t]，t≥0 dt1dx1dx 因 y?? y0??
0.15dt0.15dtt?00.015(A?B) （6.3.9） 0.15 联立求解（6.3.8）和（6.39），解得A≈1938.14，B≈8061.86。
在任意时刻Y军队的士兵数为
1dxy(t)??
0.15dt 5000?y0???0.015[1938.14e0.015t?8061.86e?0.015t]，t≥0， 0.152t0.015b??4.16，解得t≈5.82小时，证明我们前面估算 令y=0 ，算得ea的战斗持续时间相当准确。
前面已得出Y部队要赢得这场战斗，开始时必须再增加3165名士兵。假定战斗开始后的某个时刻到达增援部队（如空降伞兵），设在任一时刻使Y部队战斗力发生改变从而赢得胜利所需的增援人数为N ，则
?N?可以算出以下结果 战斗持续时间t（小时） 增援士兵数N(个)
bx?y?a0.1x?y 0.0150 1 2 3 4 5 3165 3577 4043 4570 5166 5839
1.1 基础
1.1.1 数值微分举例
dy?f(t) 微分方程dt则可得
dy?f(t)dt
则利用微分一阶近似计算（即泰勒一阶展式）：
dy?f(t)?t?y(t??t)?y(t)
y(t??t)?y(t)?f(t)?t 特别的，若令ti?1?ti??t，
则
y(ti?1)?y(ti)?f(ti)?t
1.2 战斗模型的求解
要讨论的问题：
1. 这个模型怎么理解？
2. 模型怎么求解？（解析解还是数值解）
3. 结果的图形表示：采用哪些图形来表现结果？
1.2.1 运行情况1（a=0.4,b=0.10，delta_t = 0.3）
观察战斗持续了多长时间？
给定一组数据后图形（随时间t的变化）：
给定一组数据后图形（X，Y军队数量对比图）：