数学建模作业
题目：研究生录取问题优化模型
姓名：贺海龙 姓名：邹高永 姓名：姜昌海
2011年08月09日
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队员：
研究生录取问题优化模型
摘要：
本文针对研究生录取问题,建立了模糊综合评价模型和一般指派问题的规划模型，基本解决了研究生录取问题。首先,利用模糊综合评价模型对学生的综合成绩加以量化以及学生导师的满意程度，导师对学生的满意程度进行了量化；其次,利用一般指派问题的规划模型制定了学生和导师的最佳双向选择方案；最后,给出了一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，依次建立了三个模型。
在模型（1）中，对等级量化后要求先按分数择优录取，然后，根据模糊评价及柯西隶属函数，给出建立了10名研究生与10名导师之间最佳双向选择方案的多级综合评价数学模型，使师生双方的“满意度”达到最大；模型（2）在模型（1）的基础上，加上一对一的约束条件建立优化模型，从而可以得出一名导师带一名研究生的最佳方案；而模型（3）应用双向
选择方法，让10名导师和10名研究生之间做双向选择，并给出了双向选择策略。 在模型中，我们定义了一个满意度（即学生与导师的相互满意程度）来度量学生与导师的配合方案，满意度越大，人员分配方案就越优。最后利用lingo,matlab数学软件求解模型即可。
关键词：研究生；录取；模糊综合评价；指派问题；双向选择；柯西隶属函数。
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1问题重述
目前，我国根据素质教育和培养高素质合格人才的需要，要求各高校都对硕士研究生的录取方法进行了改革，即在录取的过程中改变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试及考核的作用。现有某高校计划招收10名计划内研究生，具体的招收录取办法和程序如下：
（一）公开考试：在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例（共15人）选择进入复试（第二阶段专家考核）的名单。
（二）复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面，思维的创造性，灵活的应变能力，文字和和口头的表达能力和外语水平等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个研究生的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级。
（三）然后，由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。
(四)最后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿，导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。
该高校拟将录取的10名研究生与10名导师进行双向选择，在使师生双方满意度最大的条件下，进行最优的人员配比。在这里，我们所要解决的问题是要将面试的评分等级进行量化，用加权的方法对各个研究生进行评分，然后分别在按需和按志愿两种情况下对人员进行择优录取，给出最优录用分配方案。
2 模型假设
（1）假设专家对研究生的专长的评分是客观公正的，没有作弊或歧视一位录取学生而故意打过高或过低
分值的现象；
（2）假设在研究生录用考试的第一步（笔试）中已经设置了考察学生各种能力的题目，难度和比例都比较合理，即笔试已经对学生各种能力做了比较全面的测试；
（3）考生填报的志愿要尽量满足，专业不对口将大大降低学生和导师的满意度； （4）假设研究生所填报的志愿不存在调剂现象。
3 定义与符号说明
Rk:专家k对学生5项指标的评价
rji：第j个学生的第i个项专长的复试成绩 Bj：第j个学生的复试成绩 Aj：第j个学生的笔试成绩
Aj'：第j个学生规范化的笔试成绩 Cj：第j个学生的综合成绩
S: 满意度,即学生与导师之间的相互满意程度
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(l)：第i 个导师对第j 个研究生的第l项条件的综合评价满意度 SijSij：第i 个导师对第j 个研究生的五项条件的综合评价满意度 Tji：第j 个学生对第i 个导师的综合评价满意度 STji：导师学生双方相互综合满意度
4 问题分析
学校计划招生的10名研究生，由初试上线的前15名学生参加复试专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级。该系现有10名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。导师的研究方向、专业学术水平以及对学生的期望要求。综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。
问题主要要求
（1）对导师和学生的综合评价及择优选择问题；首先，由于各专家对每一个学生的五项条件都有一个主观评判结果，则可据此确定各专家对每一个学生的五项条件的量化分值，再综合8名专家的评分就可以得到每个学生的量化得分；然后由初试成绩与复试成绩规范化后的综合成绩排序择优录取10名研究生。 （2） 最佳双向选择问题。包括两个方面对一选择（每一名导师只带一名学生) ;一对多选择(一个导师选多个学生) 。用模糊评判及权重的相关知识分别确定学生对导师，导师对学生的满意度，而最优的双向选择方案应该是使得所有导师和学生的相互综合满意度之和最大。
（3）根据初试成绩、专家组的面试评价以及导师对学生的要求条件,确定录取研究生的新方案；在模型二的基础之上添加约束条件
?xj?110ij?1,?j?1,2,?,10?，利用0-1规划知识求解便可
（4）充分考虑学生的申报志愿情况,给出一种导师和研究生的选择方案, 以及每一名导师带2 名研究生的双向选择最佳策略。首先在充分考虑考生志愿和专业平衡的条件下，给出了5名导师和10名学生的选择策略，然后，在此基础上采用虚拟导师的方法转化为问题（二）中的情况进行求解。
（5）设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案。最终使师生双方的满意度最大
5 模型建立与求解
5.1模糊综合评价模型
5.1.1学生复试成绩的量化
学生的五项条件都具有一定的模糊性, 评价分为A，B，C, D四个等级, 即构成模糊集
U?{u1,u2,u3,u4}不妨设相应的评语集为{很好, 好, 较好, 差}, 对应的数值为：U?{u1,u2,u3,u4}根
据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数：
?[1??(x??)?2]?1,1?x?3(1) f(x)???alnx?b , 3?x?5其中?,?,a,b为待定常数，实际上, 当评价为“很好”时, 则隶属度为1, 即j; 当评价为“较好”时, 则
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隶属度为0.8, 即f(3)?0.8; 当评价为“很差”时(在这里没有此评价) ,则认为隶属度为0.01, 即
f(1)?0.01； 于是, 可以确定出??1.1086，??0.8942，a?0.3915，b?0.3699，代入公式（1）
得到相应的隶属函数，经计算的f(2)?0.5245，f(4)?0.9126；则专家对学生各单项指标的评价(评语集) {A ,B , C,D } = {很好, 好, 较好,差} 的量化值为(1,0.9126,0.8,0.5245)。根据题目数据可以得到各名专家对每一个学生的五项条件的评价矩阵：
Rk?(rji)15?5，(k?1,2,?,8)，由于8 名专家的地位应该是平等的, 于是综合8 名专家评价结果可以
得到15 个学生的五项条件的复试得分为：
(k)18?k?rij??rij?i?1,2,?5;j?1,2,?,15?
8k?1同样学生的五项条件在综合评价中的地位也应该是同等的, 则15 个学生的综合复试得分可表示为：
15Bj??rij?j?1,2,?,15?
5i?15.1.2 初试成绩的规范化
为了便于将初试成绩与复试成绩做统一的比较处理, 用极差规范化方法作相应的规范化理. 初试得分的规范化：
Aj'?Aj?minAjmaxAj?minAj?Aj?356416?356?j?1,2,?,15?
5.1.3 学生的综合成绩
由于不同的学校对待初试和复试成绩的重视程度可能会不同，而且根据题目加大了复试的作用，这里给学生的初始成绩和复试成绩加权，分别赋于权系数??0.4，??0.6则学生j的综合分数为：
Cj???Aj'???Bj?j?1,2,?,15?
根据学生的综合成绩，按从大到小排序就可以择优录取10名研究生。
5.1.4 导师对学生的满意度
导师对学生有五方面的专长要求，相应每位学生都有专家对其五项专长面试的得分，导师对学生的要求和专家对学生专长的评价都有四个等级, 并且都具有模糊性, 即构成模糊指标集U?{u1,u2,u3,u4}， 五个指标元素分别为灵活性、创造性、专业面、表达力、外语.。每一位导师对学生的每一项指标都有一个“满意度”，将即反映导师对某项指标的要求与学生实际水平差异的程度. 导师对学生的要求和专家对学生专长的得分进行比较，如果专家对学生专长的得分与导师对学生的要求相符合用4表示，如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求要求高一个等级，两个等级，三个等级，分别用5，6,7表示, 如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求低一个等级，两个等级，三个等级分别用3,2,1表示,于是认为导师对学生某项指标的满意程度可以分为“很不满意、不满意、不太满意、基本满意、比较满意、满意、很满意”七个等级, 即构成了评语集V?{v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} ， 并赋相应的数值{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。根据实际情况, 则可以取类似于(1) 式的近似偏大型柯西分布隶属函数：
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