排队论习题
1. 一个车间内有10台相同的机器，每台机器运行时每小时能创造4元的利润，且平均每小时损坏一次。而一个修理工修复一台机器平均需4小时。以上时间均服从指数分布。设一名修理工一小时工资为6元，试求：
（i）该车间应设多少名修理工，使总费用为最小；
解:这个排队系统可以看成是有限源排队模型M/M/s/10，已知
??1,??1??0.25,???4,m?10 4?设修理工数为s,
??m!m!nn?????由公式p0???n?1n?s?m?n?!s!s?n?0?m?n?!n!?s?1m?1
Lq???n?s?pnn?ss?1m?s?1?
Ls??npn?Lq?s?1??pn?n?0?n?0?目标函数为min?6s?4Ls，用lingo求解得到s?1，此时平均队
长Ls?9.5台，又因为当维修工数s?10时平均队长Ls?8，说明此模
型不合理。
对模型进行修正，由于要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。所以假设一名修理工修复一台机器平均需0.5小时，即设??2。用lingo求解得维修工数s?3，平均队长
，
此时的最小费用为35.97元。（1）
程序： model:
lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s); min=6*s+4*L_s; @gin(s); end
Local optimal solution found.
Objective value: 35.97341 Objective bound: 35.97341
Infeasibilities: 0.1000005E-09 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 388
Variable Value LAMDA 1.000000 MU 2.000000 RHO 0.5000000 M 10.00000 LOAD 5.000000 L_S 4.493352 S 3.000000 LAMDA_E 5.506648
（ii）若要求不能运转的机器的期望数小于4台，则应设多少名修理工；
解：同上，用有限源排队模型求解，增加约束条件Ls?4，求得应设4名修理工。 程序：
model:
lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s);
min=6*s+4*L_s; L_s<4; @gin(s); end
Local optimal solution found.
Objective value: 38.85625 Objective bound: 38.85625 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 702
Variable Value Reduced Cost LAMDA 1.000000 0.000000 MU 2.000000 0.000000 RHO 0.5000000 0.000000 M 10.00000 0.000000 LOAD 5.000000 0.000000 L_S 3.714062 0.000000 S 4.000000 2.882840 LAMDA_E 6.285938 0.000000
（iii）若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工。
解：同第一问解法相同，首先只增加约束条件Wq?Lq?4小时，求得
?Ls?8，不合理。因此再增加一个约束条件Ls?5，解得等待时间为
4小时，应设3名修理工。
程序model:
lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s); L_q=L_s-(1-p_0); w_s=L_s/lamda_e; w_q=L_q/lamda_e; min=6*s+4*L_s; w_q<4;
L_s<5; @gin(s); end
Local optimal solution found.
Objective value: 35.97341 Objective bound: 35.97341
Infeasibilities: 0.1000005E-09 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 99
Variable Value LAMDA 1.000000 MU 2.000000 RHO 0.5000000 M 10.00000 LOAD 5.000000 L_S 4.493352 S 3.000000 LAMDA_E 5.506648 L_Q 3.609552 P_0 0.1162004 W_S 0.8159868 W_Q 0.6554899
2. 到达某铁路售票处顾客分两类：一类买南方线路票，到达率为?1/小时，另一类买北方线路票，到达率为?2/小时，以上均服从泊松分布。该售票处设两个窗口，各窗口服务一名顾客时间均服从参数??10的指数分布。试比较下列情况时顾客分别等待时间：（i）两个窗口分别售南方票和北方票；（ii）每个窗口两种票均出售。（分别比较
?1??2?2,4,6,8时的情形） 解：
（i）这一排队系统可以看成是一个单服务台等待制模型M /M /1/∞ 其中?1??2，??10，
???1?2???
?1?2?由公式Wq?
?????1??????2?用lingo求解得 到达率??1??2?/小时 2 4 6 8
程序model:
s=1;lamda=2;mu=10;rho=lamda/mu; l_q=rho^2/(1-rho); w=l_q/lamda;
平均等待时间/分钟 1.5 4 9 24