2.13三次函数与四次函数
一、学习目标
三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独
命题。近年高考中，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，不仅仅如此，
通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。近年高考有多个省份出现了四次函数高考题，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 二、知识要点：
第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况
a对图象 的影响 三 次 函 数 图 象 说 明 可以根据极限的思想去分析 当a＞0时，在x?+∞右向上 伸展，x?-∞左向下伸展。 当a＜0时，在x?+∞右向 下 伸展，x?-∞左向上伸展。 与x轴有三个交点 若b2?3ac?0,且既两个极f(x1)?f(x2)?0，值异号；图象与x轴有三个交点 与x轴有二个交点 若b?3ac?0,且既有一f(x1)?f(x2)?0，个极值为0，图象与x轴有两个交点 2
与x轴有一个交点 1。存在极值时即b?3ac?0,且2既两个极f(x1)?f(x2)?0，值同号，图象与x轴有一个交 点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。 1.f(x)?0根的个数
三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d
导函数为二次函数:f/(x)?3ax2?2bx?c(a?0)， 二次函数的判别式化简为：△=___________， (1) 若_____________，则f(x)?0恰有一个实根；
(2) 若b2?3ac?0,且_________，则f(x)?0恰有一个实根； (3) 若b2?3ac?0,且__________，则f(x)?0有两个不相等的实根； (4) 若b2?3ac?0,且____________，则f(x)?0有三个不相等的实根.
说明(1)(2)f(x)?0含有一个实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数（或两极值同号），所以b2?3ac?0（或b2?3ac?0，且f(x1)?f(x2)?0）.
(3)f(x)?0有两个相异实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
b?3ac?0，且f(x1)?f(x2)?0.
2(4)f(x)?0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b?3ac?0且f(x1)?f(x2)?0. 2.极值情况：
三次函数f(x)?ax?bx?cx?d（a＞0）, 导函数为二次函数f(x)?3ax?2bx?c(a?0)， 二次函数的判别式化简为：△=4b?12ac?4(b?3ac)， (1) 若___________，则f(x)在(??,??)上为增函数；
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(2) 若____________，则f(x)在(??,x1)和(x2,??)上为增函数，f(x)在(x1,x2)上为减函数，其中
?b?b?3ac3a2x1?,x2??b?b?3ac3a2.
三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0), (1) 若b2?3ac?0，则f(x)在R上无极值；
(2) 若b2?3ac?0，则f(x)在R上有两个极值；且f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。 三、课前检测：
1.（09安徽理）设a＜b,函数y?(x?a)2(x?b)的图像可能是
（2．（09江西文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x3和y?ax?2154x?9都相切，则a= .
3．（09重庆文）把函数f(x)?x3?3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像
C2．若对任意的u?0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为 .
4．（09江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
5.（09福建卷理）若曲线f(x)?ax?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________. 四．典型例题;
例1.讨论关于x的方程
例2：设a为实数，函数f(x)?x?x?x?a． （Ⅰ）求f(x)的极值；
323313x?312?a?1?x2?ax?13?0根的个数.
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y?f(x)与x轴仅有一个交点．
例3. 已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x?10x的一个极值点。
2⑴求a； ⑵求函数f?x?的单调区间；
⑶若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，求b的取值范围。
第二部分：在四次函数中的应用
由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题 例4： 已知函数f(x)?142（I）证明：?27?c?5；
x?x?439x?cx有三个极值点。
2（II）若存在实数c，使函数f(x)在区间?a,a?2?上单调递减，求a的取值范围。
总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象
与x轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决 例5：已知函数f(x)?143（1）求函数y?f(x)的单调区间；
x?41ax?ax?a(a?0)
3224（2）若函数y?f(x)的图像与直线y?1恰有两个交点，求a的取值范围．
只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。四次函数问题,应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。
五当堂检测
1（09北京文）（本小题共14分）
设函数f(x)?x3?3ax?b(a?0).
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，求a,b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.
2（09江西文）（本小题满分12分） 设函数f(x)?x3?92x?6x?a．
2（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值； （2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
3.（09全国理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．
0],x2?[1,2]. 设函数f?x??x?3bx?3cx在两个极值点x1、x2，且x1?[?1，32（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点?b,c?的区域； (II)证明：?10?f?x2???
322224.(09浙江理）（本题满分14分）已知函数f(x)?x?(k?k?1)x?5x?2，g(x)?kx?kx?1，
其中k?R．
21世纪教育网12
（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．． （II）设函数q(x)???g(x),x?0,?f(x),x?0. 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一
的非零实数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由．