人教A版必修四
3.1.1两角差的余弦公式
一.教学目标：
课标要求：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换. 1.知识与技能：
(1)理解两角差的余弦公式的推导；
(2)掌握两角差的余弦公式并能进行初步的应用。
2.过程与方法目标
通过对两角差余弦公式的推导及应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会向量方法的作用，体会数形结合、化归与转化的思想。 3.情感、态度与价值观目标
培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑的学习品质与严谨、求实的科学态度。
二.教学重点、难点
重点：两角差的余弦公式的推导与运用 难点：两角差余弦公式的推导过程
三.学情分析
学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，了解几何法，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。
四.教学方法
1.利用多媒体，结合几何画板辅助教学（直观、清晰） 2.教师结合问题，逐步引导学生思考问题、解决问题。
五.教学流程
利用 猜想探究证明公式 熟悉公式结构特征 公式应用 小结 作业 诱导公式引入新课 1 / 6
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六．教学过程 （一）引入新课
前面我们学习了三角函数与向量的知识，本节课我们将结合前面所学的知识开启有关三角恒等变换的学习。
请大家观察这组关于两角差的诱导公式：
cos(2???)?cos?,cos(???)??cos?,cos(??)?sin?
2它们的之都与? 的余弦值，正弦值有着一定的关系，那么进一步
?cos(??)??,4?cos(???)??
β正余弦之间有怎样的关系？我们相信这是非常重要的结论!cos(???)与α，
这就是我们本节课所要研究的内容：3.1.1两角差的余弦公式（板书课题） 设计意图：利用所学过的诱导公式，简单开门见山的引入课题，也可以得到 cos(???)的表达式应该与角α，β的正余弦有一定的关系。引导学生直奔主题。
（二）探究新知
问题1：我们应该采用怎样的方式来研究这个问题？（先猜想在证明的方式，大多数探究问题的方法）
问题2：你心目中的两角差的余弦公式应该是什么样的？
cos(???)?cos??cos?? 你们同意这个观点吗？说说理由？
问题3：cos(???) 与角α，β的正余弦到底有怎样的关系？我们又应该怎样去探究这个问题？
教师提示：化难为简，不妨缩小范围，α，β都是锐角的时候来研究问题。 问题4：如何把cos(???)) 与角α，β的正余弦简洁、直观的表示出来呢？ 结合第一章所学的知识（采用单位圆和构造直角三角形的方法，——几何法） 设计意图：公式比较复杂，没有采用借助特殊角给值引导学生猜出正确结果再证明的方式，我理解的教材的编写意图为几何法得出公式结构，再利用向量法证明。故采用了猜想不正确采用化难为简的方式探究。
考虑到此部分比较复杂，采用教师主讲适当启发的方式，利用几何画板作图。
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公式推导cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ单位圆，角α角βα-β1.直接给出角α，β，α-β 2.利用余弦线，做垂线PM；构造直角三角形做垂线PA，为了将
cos?，sin?,OM联系
单位圆中yA垂线PM1垂线PA垂线AB垂线PCβ234三角形ABO三角形APCcos(α-β)cosβCcos(α-β)=OM=OB+BMP1=OB+CPsinβ=OAcosα+APsinαααP=cosαcosβ+sinαsinββαα-βOBMx起来，做垂线AB 3.∠PAB=α 做垂线PC，进而得到公式（板书表达式）
问题5表达式是在锐角
是推出的，对任意角都成立吗？ 公式验证：
任意角都成立吗？cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβα = 12β = –1cos(α β) = 0.90745cos(α)?cos(β) + sin(α)?sin(β) = 0.90745洁的解法？
1.在角α，β不是锐角时候的取值。验证结果成立。
2.是否对任意角都成立？
3.几何法比较复杂。能不能找到到更方便，简
问题6观察表达式的结构特征，与前面学的那个计算原理有着类似的结构，你有怎样的想法？
设计意图:虽然利用几何法得出了在锐角的情况下的公式，想到是特殊情况，还是一般结论？但是推广起来较为复杂。利用计算机验证，其他角时也成立。进而启发学生有没有简便的方法证明。在几何法部分不做过多的探究，避免偏离主题。
单位圆中α终边y1.（右侧与向量的
OA=(cosα,sinα)OB=(cosβ,sinβ)数量积的坐标运算，结构类似。左侧定义法）
2.在图中能否找到与其相关的向量？ 3.学生动手推导公式。
ABxβ终边由OA=(cosα,sinα)，OB=(cosβ,sinβ )α-βO得OA?OB=cosαcosβ+sinαsinβ设OA，OB的夹角为θ又因为OA?OB=OA ?OB cosθ =cos(α-β) 所以cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ 3 / 6 1思考思考2 坐标学生解法人教A版必修四
4．展示学生结果
问题7：是否同意同学的解法，有没有什么问题？
y1. 学生提出问题，α-β为任意角，向量夹角为[0,?](回答很好，给予肯定)
Bβ终边2. α-β与向量之间的夹角有什么关系呢？
3. 引导学生在[0,2?]研究，
α-βOAx(1)?????0,??,?????;(2)??????,2??,????2???;
α终边根据终边相同的角的性质，
????2k???,k?Z
所以cos(???)?cos?设计意图：让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用。培养学生思维的严谨性。
得出结论：两角差的余弦公式(α,β为任意角)
cos(???)?cos?cos??sin?sin?问题8：熟悉公式，结构特征？
?C???
??? 左边：两角差的余弦 右边：同名三角函数乘积的和 注意公式的正用，逆用，任意角，同名积，异号。
设计意图：熟悉公式，了解公式的结构特征。为后面公式的灵活应用做铺垫。
（三）知识应用
例1.利用差角的的余弦公式求cos15°的值.
分析：角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45° 学生自主解决；
解法1：cos15?cos45?30
???cos45cos30?sin45sin30?解法2：cos15?cos60?45
23216?2 ????22224??12312?6 ?cos60cos45?sin60sin45?????22224总结：非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.形式上不是差
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角，拆成差角求解 变式训练
1.证明cos（??）?sin?
2?2.cos60?cos15??sin60?sin15??cos(60??15?)?2 2?????1??3.cos??+?cos??sin??+?sin??cos[(??)??]?
3?3?32??总结：不仅要会公式的正用而且要注意公式的逆用，变形应用，熟练、灵活的掌握公式。 例2.
4?5已知sin??,??(,?),cos???,?是第三象限角，求cos(???)的值.
5213分析：结合余弦公式,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C(α-β)即可求解.,注意角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.由学生自主完成.
434???解：由sin??,???,??得cosα=?1?sin2a??1?()2??.
555?2?又由cosβ=?5125,β是第三象限角,得sinβ=?1?cos2???1?(?)2??. 1313133541233所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(?)?(?)??(?)??.
51351365总结：一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.提醒学生注意,养成良好的学习习惯.
变式训练
4?5,??(,?),cos???，求cos(???)的值. 52135解:（1）cos???,?是第二象限角时，得
132125??sin??1?cos2??1?????
13?13?1.已知sin???3??5?4?12?63所以 cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ?????????????
?5??13?5?13?65（2）?是第三象限角时，同例题。
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总结:本题与例2的不同点就是角?的范围不同.引导学生运用分类讨论的思想,培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.强调分类时要不重不漏.
2.已知sin(?+?372（注意角的拼凑） )??,??（0,?）则cos?=-4510（四）回顾小结
通过本节课的学习你有哪些收获？
1. 探索并证明了两角差的余弦公, 经历了，猜想— 探究—证明 ,利用几何法、向量法得出了公式：cos(???)?cos?cos??sin?sin? 2. 所涉及的数学思想方法:化归与转化、数形结合、分类讨论
教师点评：在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们会继续感受它的便利。
注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识， 要大胆猜想，细心证明！
（五）课后作业
1.必做：P137，2,3,4
sin??sin??,cos??cos??2.选做：354,求cos(???) 53.课下思考：你能用cos(α-β),推导出 cos(α+β)吗？
高斯的名言与同学们共勉:“一个人在无结果地深思一真理后能够用迂回的方法证明它,并最后找到了它的最简明而又最自然的证法,那是极其令人高兴的.”
七.板书设计： 投影 屏幕 3.1.1两角差的余弦公式 cos(???)?cos?cos??sin?sin?(C(???))板演 区域 6 / 6