2019届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2019.4.24)
数 学 试 题
参考公式：锥体的体积公式：V?1Sh，其中S为锥体的底面积,h为高. 3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
2*1．设集合M?x|x?1?0，集合N?y|y?3,y?N，则M????N? 。
开始 2．若复数z?1?i（其中i为虚数单位），则|z?2|? 。 i3．为了解1000名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法 输入m, n 从中抽取容量为40的样本，则抽样中分段的间隔为 。 4．有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有3个完全相同的小球， 球上分别标有数字1，2，3. 甲从其中一个箱子中随机摸出一个球，求 m除以n的余数r 乙从另一个箱子中随机摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就 获胜（若数字相同则为平局），则甲没有获胜的概率为 。 m←n 5．“a??4”是“抛物线x2?ay(a?0)的准线恰好与双曲线y2?x2?2 的一条准线重合”的 条件（选填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）。 否 r = 0? 6．图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入m?37，n?5，则输出
m? 。 是 输出m ?x?y?2?0?7．若变量x,y满足?x?2y?4?0，则x2?y2的最小值为 。 ?4y?5A 结束 ?8．四面体ABCD沿棱DA,DB,DC剪开，将面ADB，面ADC和 面BDC展开落在平面ABC上，恰好构成一个边长为1的正方形 AEGF（如图所示），则原四面体的体积为 。
9．设函数f(x)?sin(2x??)(0????)在x?n←r F(D) 第6题图 C D G(D) E(D)
B ?2处取得最值，若数列?xn?是首项与公差均为
?的4等差数列，则f(x1)?f(x2)?f(x3)?????f(x2015)的值为 。 10．奇函数f(x)与偶函数g(x)的图象分别 如图甲与图乙所示，设方程f(g(x))?0 与g(f(x))?0的实根个数分别为a,b， 则a?b的值为 。
11．设正实数x,y满足2x?y?2，
-1 O -2 -1 第10题图(乙)
y 2 y 1 1 2 x -1 O ·1· 1 x -2 第10题图(甲)
21?的最小值为 。 x?1y12．已知圆O的半径为1，A,B是圆上的两
?点，且?AOB?，MN是圆O的任意
31一条直径，若点C满足OC??OA?(1??)OB(??R)，则CM?CN的最小值为 。
213．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(?2,2)，B(2,6)，一条直线l过点(0,m)，且与单
则
位圆x2?y2?1恒相切. 若有且只有两个点P满足：①PA?PB??4；②点P到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是 。
14．设等差数列?an?的各项均为整数，其公差d?0，a5?6，若无穷数列
a3,a5,an1,an2,???,ant,???(5?n1?n2?????nt????)构成等比数列，则数列?an?的前2019项中是该
等比数列中项的个数为 。
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
已知函数f(x)?Asin(?x??)?B(A?0,??0,|?|??)的部分图象如图所示. （1）求函数f(x)的解析式； （2）若g(x)?f(x??)?f(x?)，求函数g(x)在区间[0,?]上的单调减区间. 33y 3 ??
16．(本小题满分14分) （1）求证：A1R//平面APQ； （2）求证：平面APQ?平面ABC1.
·2·
? 12O 5? ﹣1 12
x 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，BB1?BC，点P,Q,R分别是棱BC,CC1,B1C1的中点.
A1 B1 R Q C P
B
C1
A
x2y2317．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，上顶点为B，
ab21直线l:y?x与椭圆E交于C,D两点，且?BCD的面积为2. 2（1）求椭圆E的标准方程； （2）设点P是椭圆E上一点，过点P引直线m，其倾斜角与直线l的倾斜角互补. 若直线m与椭圆E相交，另一交点为Q，且直线m与x,y轴分别交于点M,N，求证：QM2?QN2为定值。
y
B l
P M D
O x
N C m Q 18．如图所示，某镇有一块空地?OAB，其中OA?3km，OB? 33km，?AOB?90?. 当地镇
政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖?OMN，其中M,N都在边A,B上，且?MON?30?，挖出的泥土堆放在?OAM地带上形成假山，剩下的?OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在?OAN的一周安装防护网.
3km时，求防护网的总长度； 2（2）若要求挖人工湖用地?OMN的面积是堆假山用地?OAM的面积的3倍，试确定?AOM的大
（1）当AM?小；
（3）为节省投入资金，人工湖?OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使?OMN 的面积最小？最小面积是多少？
B
N
M 19．设a?0，且a?1，数列?an?的前n项和为Sn，已知数列?logaSn?是首项为0，公差为1的等A O 差数列.
（1）求数列?an?的通项公式；
（2）设m是给定的正整数，a?2，数列?bn?满足bn??
1?n?m,?b2m?n?1,.
?an?an?1,m?1?n?2m①当m?10时，求数列?bn?的前n项和Tn(n?20)； ②设数列?cn?满足cn?
·3·
n?4，试求数列?cn?中最大项的值. bn
12kx?2x?klnx（k?R）. 211（1）当k?时，求函数f(x)在[,4]上的最大值；
221
（2）若函数f(x)在区间(,4)上不单调，求k的取值范围；
2
20．已知函数f(x)?f(b)?f(a)在区间(a,b)b?a上有唯一的零点.（参考公式：若h(x)?f(g(x))，则h?(x)?f?(g(x))?g?(x)）
（3）当k?2时，设[a,b]?[1,2]，其中a?b，试证明：函数?(x)?f?(x)?
2019届高三年级联考试卷
数学参考答案
1．?2? 2．10 3．25 4．9．?1 10．14 11．
2171 5．充要 6．1 7． 8． 38249 12．2 13．(??,?2)(1,2) 14．7 4?A?B?3?A?2
15．解：（1）由图知?，解得?， …………2分
??A?B??1?B?1
T5????(?)?，所以T??，故??2， …………4分 又?212122所以f(x)?2sin(2x??)?1，将点(??12,?1)代入，得??2k??·4·
?3(k?Z)，
再由|?|??，得???（2）因为g(x)?f(x??3，所以f(x)?2sin(2x??3)?1. …………6分
)?f(x?)?2sin(2x?)?2sin(2x??)?2 333?3cos2x?sin2x?2
????2cos(2x?)?2， ………10分
6??5??x?k??由2k??2x??2k???，解得k??(k?Z)，
612125?11?],[,?]. ………14分 又x?[0,?]，故所求的单调减区间为[0,121216．证明：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC//B1C1且BC?B1C1，
而点P,R分别是棱BC,B1C1的中点，所以BP//B1R且BP?B1R，
所以四边形BPRB1是平行四边形， ………2分 即PR//BB1且PR?BB1，又AA1//BB1且AA1?BB1，所以PR//AA1且PR?AA1， 即四边形APRA1是平行四边形，所以AP//A1R， ………4分 又A1R?平面APQ，所以A1R//平面APQ. ………6分 （2）因BB1?BC，所以四边形BCC1B1是正方形，所以B1C?BC1，
又点P,Q分别是棱BC,C1C1的中点，即PQ//BC1，所以B1C?PQ. ………8分 因AB?AC，点P是棱BC的中点，所以AP?BC，
由直三棱柱ABC?A1B1C1，知BB1?底面ABC，即BB1?AP，
所以AP?平面BCC1B1，即AP?B1C， ………10分
所以B1C?平面APQ， ………12分
??平面ABC又B1C?平面ABC1，所以平面APQ1. ………14分
17．解：（1）由e?3212c322，得c?a，b?a， ………2分 ?44a21?y?x?22联立?，得D(2a,a)，
22224??x?4y?a222210，………4分
a)?(a)?a242aa又上顶点B(0,)到直线l的距离为d?，
25所以CD?2(1110a22CD?d??a??a?2， 22245x22解得a?4，即椭圆的方程为?y2?1. ………8分
4所以?BCD的面积为S?·5·