1x12（2）设Q(x1,y1)，则?y12?1，因为直线m与直线l的倾斜角互补，所以km??kl??，
241所以直线m的方程为y?y1??(x?x1)，
21令y?0，得M(x1?2y1,0)；令x?0，得N(0,x1?y1). ………10分
21252222222所以QM?QN?(2y1)?y1?x1?(x1)?x1?5y1
24x12?5(?y12)?5. ………14分
4x02方法2：设P(x0,y0)，则?y02?1，因为直线m与直线l的倾斜角互补，
41所以km??kl??，
21所以直线m的方程为y?y0??(x?x0)，
21令y?0，得M(x0?2y0,0)；令x?0，得N(0,x0?y0). ………10分
2?x2?y2?1??422联立?，消去x，得8y?4y(x0?2y0)?(x0?2y0)?4?0，
?y?y??1(x?x)00??21解得Q(2y0,x0)， ………12分
212x0222222所以QM?QN?x0?x0?4y0?y0?5(?y02)?5. ………14分
4418．解：（1）在?OAB中，因为OA?3，OB?33，?AOB?90?，所以?OAB?60?，
3在?AOM中，OA?3,AM?,?OAM?60?，
233由余弦定理，得OM?， ………2分
2222所以OM?AM?OA，即OM?AN，所以?AOM?30?，
所以?OAN为正三角形，所以?OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km. ………4分
（2）设?AOM??(0????60?)，因为S?OMN?3S?OAM，
11ON?OMsin30??3?OA?OMsin?，即ON?63sin?， ………6分 22ONOA333??在?OAN中，由，得ON?， ………8分
sin60?sin(??60??30?)cos?2cos?所以
·6·
133，即sin2??，由0??2??120?，
22cos?得2??30?，所以??15?，即?AOM?15?. ………10分
33（3）设?AOM??(0????60?)，由（2）知ON?，
2cos?OMOA33又在?AOM中，由，得OM?， ………12分 ?sin60?sin(??60?)2sin(??60?)127所以S?OMN?OM?ON?sin30??
216sin(??60?)cos?27? 1338(sin2??cos2??)22227， ………14分 ?8sin(2??60?)?43从而63sin??所以当且仅当2??60??90?，即??15?时，?OMN 的面积取最小值为27(2?3)km2.
4 ………16分 19．解：（1）由题意得logaSn?n?1，所以Sn?an?1， ………2分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?an?1?an?2?(a?1)an?2，又a1?S1?1，不适合上式， 所以an??1,n?1,?. ………4分 n?2?(a?1)a,n?2n?1,?b20?n?1,1?n?10,?1,m?10；又，所以， b??nn?2?2,n?2?an?an?1,11?n?20 则当11?n?20时，bn?an?an?1?22n?3；当1?n?10时，bn?b20?n?1?239?2n，
（2）因为a?2，所以an???239?2n,1?n?10,即bn??2n?3， ………6分
2,11?n?20?373539?2n ①[1]当1?n?10时，Tn?b1?b2?????bn?2?2?????2
237(1?4?n)239(1?2?2n)??； ………8分
1?4?13[2]当11?k?20时，Tn?T10?b11?b12?????bn
239(1?2?20)19239(1?2?20)219(1?4n?10)212n?3?2?2?????2?? ?
331?4220(219?1)?22n?1?.
3?239(1?2?2n),1?n?10,??3综上所述，Tn??2019 ………10分 2n?1?2(2?1)?2,11?n?20.?3?·7·
?n?4,1?n?m,??2,1?n?m,?24m?2n?1②因为bn??2n?3，所以cn??，
n?42,m?1?n?2m??,m?1?n?2m??22n?3n?3n?43n?8[1]当1?n?m?1时，因为cn?1?cn?4m?2n?3?4m?2n?1?4m?2n?1，所以
222（Ⅰ）若1?m?3，则cn?1?cn?0，此时c1?c2?????cm；
（Ⅱ）若m?4，则当n?1,2时，cn?1?cn?0；当3?n?m?1时，cn?1?cn?0，
4m?2n?1此时c1?c2?c3?c4?????cm； ………12分
(m?1)?4m?41???0，所以cm?1?cm；
22m?122m?122m?1n?3n?413?3n[3]当m?1?n?2m?1时，因为cn?1?cn?2n?1?2n?3?2n?1，所以
222（Ⅰ）若1?m?3，则当m?1?n?4时，cn?1?cn?0；当5?n?2m?1时，cn?1?cn?0，此时c4?c5?c6?????c2m；
[2]当n?m时，因为cn?1?cn?（Ⅱ）若m?4，则cn?1?cn?0，此时cm?1?cm?2?????c2m. ………14分 从而：[A]当m?1时，因为c1?c2，所以?cn?的最大项为c2??1；
[B]当m?2时，因为c1?c2?c3?c4，且c1?0?c4，所以?cn?的最大项为c4?0； [C]当m?3时，因为c1?c2?c3?c4?c5?c6，而c1??31?c?5117，所以此时的最大项为221； 27[D]当m?4时，因为c1?c2?c3?c4?????cm?cm?1?cm?2?????c2m，
3m?3m?3而c1??4m?3?cm?1?2m?1，所以此时?cn?的最大项为cm?1?2m?1. ………16分
222c5?（说明：本题的结论也可以叙述为：
（A）当m?1或m?4时，?cn?的最大项为cm?1?（B）当m?2或m?3时，?cn?的最大项为cm?2
m?3； 22m?1m?2?2m?1.） 2112111x2?4x?1?20．解：（1）当k?时，f(x)?x?2x?lnx，则f?(x)?x?2?，
24222x2x·8·
由f?(x)?0，得x?2?3或x?2?3（舍）， ………2分
列表如下： x f?(x) f(x) 1 2 1(,2?3) 2－ 2?3 0 (2?3,4) ＋ 4 115?ln2? 递减 取极小值 递增 ln2?4 2161115349?0， 因为f(4)?f()?ln2?4?(?ln2?)?ln2?221621611151所以函数f(x)在[,4]上的最大值为f()??ln2?. ………4分
2216211（2）先考虑问题的反面，即若f(x)在区间(,4)上单调，则f?(x)?0对x?(,4)恒成立或
221f?(x)?0对x?(,4)恒成立. ………6分
21kkx2?2x?k22因为f?(x)?kx?2??，则kx?2x?k?0对x?(,4)恒成立或kx?2x?k?02xx1对x?(,4)恒成立. ………8分
22x12x1即k?2对x?(,4)恒成立或k?2对x?(,4)恒成立，
x?12x?1288所以k?1或k?，从而所求的k的取值范围是(,1). ………10分
171722（3）当k?2时，f(x)?x?2x?2lnx，则f?(x)?2x?2?，
x2f(b)?f(a)22)?2?2，所以?(x)?2x?2??，则??(x因为1?x?2，所以??(x)?2?2?0，
xb?axx故?(x)在区间[a,b]上单调递增，从而原命题等价于：要证明?(a)?0??(b)……12分
2f(b)?f(a)2?2b?2?， 即证2a?2??ab?ab2(b2?2b?2lnb)?(a2?2a?2lna)2?2b?2?， 只要证2a?2??ab?ab2lnb?lna2?b?a? ①， 只要证a?b??2?ab?ablnb?lna2?b?a? ②，令t?b?a，则b?t?a， [1]先证：2?b?abt2t2所以1?a?t?a?2，只需证：2ln(1?)?t? ③，
aa?t2tt2?2ln(1?)，令h(t)?t?（0?t?1）， a?ta·9·
2a22t[(t?a)2?1]则h?(t)?2t????0，所以h(t)在（0，1）上单调递增，于是
(a?t)2a?t(a?t)2h(t)?h(0)?0，所以③式与②式成立. ………14分
2lnb?lna[2]再证：a?b??2? ④，令t?b?a，则b?t?a，
ab?a2tt2?2ln(1?) ⑤， 所以1?a?t?a?2，只需证：?t?aat2t2t[a(t?a)?1]2?0，所以m(t)在（0，1）令m(t)?2ln(1?)?t?，（0?t?1），则m?(t)?aaa(a?t)上单调递增，于是m(t)?m(0)?0，所以⑤式成立，从而④式也成立.
综上所述，不等式①成立，故原命题成立. ………16分
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