即 P1*3+(1-P1)*0= P1*0+(1-P1)*2 解得 P1=2/5
即（2/5,3/5）按2/5概率选“上”、3/5概率选“下”为甲的混合策略Nash均衡
对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“左”和“右”，使乙选择“上”和“下”的期望值相等
即 P2*2+(1-P2)*0= P2*0+(1-P2)*4 解得 P2=2/3
即（2/3,1/3）按2/3概率选“左”、1/3概率选“右”为乙的混合策略Nash均衡
11、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍， 市场需求函数为Q=200-P。 求：（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？
（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？ （3）用该案例解释囚徒困境。 答：（1）由已知条件 Q=200-P，P=200-Q
TC1=20q1，TC2=20q2 q1+q2=Q 可得1,2厂商的利润函数分别为：
K1=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2 K2=Pq2-TC2=(200-(q1+q2))q2-20q2=180q2-q22-q1q2 令dK/dq1=0 得厂商1的反应函数为180-2Q1-Q2=0， 令dK/dq2=0 得厂商2的反应函数为180-Q1-2Q2=0， 联解可得q1=q2=60
K1=K2=3600
(2) 由已知条件 Q=200-P，P=200-Q
TC=TC1+TC2=20q1+20q2 =20Q 可得1,2厂商的总利润函数为： K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2 令dK/dQ=0 得 Q=90,q1=q2=45
K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2=8100 K1=K2=4050
(3) 将q1=45,q2=60 和q1=60,q2=45分别代入1,2厂商的利润函数
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可得1,2厂商的利润为：
K1（q1=45,q2=60）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375 K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=4500
K2 (q1=45,q2=60)=Pq2-TC2=(200-(q1+q2))q2-20q2=180q2-q22-q1q2=4500 K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375 合作（q2=45） 合作（q1=45） 厂商1 不合作（q1=60） 4500，3375 3600，3600 根据划线法，可得厂商1.2的上策是（不合作，不合作）即（3600,3600） 双方利润均低于（合作，合作）（4050,4050）显然它属于“囚徒困境”
12、假设双头垄断企业的成本函数分别为：C1?20Q1，C2?2Q22，市场需求曲线为
P?400?2Q厂商2 不合作（q2=60） 3375，4500 4050，4050 ，其中，Q?Q1?Q2。
（1）求古诺（Cournot）均衡情况下各自的反应函数和利润函数，以及均衡产量、价格和利润，并作图表示均衡点。
（2）假设垄断企业1为领导者，求斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润。
（3）比较古诺均衡和斯塔克博格均衡的结果，并简要说明导致上述两种均衡结果差异的原因
解：
（1）对于垄断企业1：
由目标函数max[400?2(Q1?Q2)]Q1?20Q1Q1?190?Q22可得其反应函数为
利润函数为：?1?380Q1?2Q1Q2?2Q12 对垄断企业2：
由目标函数max[400?2(Q1?Q2)]Q2?2Q2Q2?50?Q142
可得其反应函数为 利润函数为：?2?400Q2?2Q1Q2?4Q22
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在达到均衡时，有：
Q??190??50?1?4??2Q1?
?Q1?80可得??Q2?30 均衡时的价格为：P?400?2?(80?30)?180 两垄断企业的利润分别为：
?1?380?80?2?80?30?2?802?12800 ?2?400?30?2?80?30?4?302?3600
均衡点可图示为：
企业2 190 企业1的反应函数曲线 古诺均衡点 50 企业2的反应函数曲线 0 95 200 企业1
（2）假设垄断企业1为领导者，企业2视企业1的产量为既定，其反应函数为：
Q2?50?Q1/4
则企业1的目标函数为：
?Q1???max?400?2?Q1?50???Q1?20Q14???? ?Q1?280/3???Q2?80/380??280P?400?2????160 均衡时价格为：
3??3 利润为：?1?39200/3，?2?25600/9
（3）当企业1为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。而企业2获得的利润较少。这是因为，企业1先行动时，无需考虑企业2的反应，而企业2只能被动地接受企业1
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的既定产量，计划自己的产出，这是一种“先发优势”
13、（市场威慑）考虑下面一个动态博弈：首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题。
默许 （20，30）
在位者 进入 在位者 进入 进入者 默许 （10，20）
斗争 （-10，0） 进入者 斗争 不进入 （-10，25）
不进入 （0，100）
.
（0，100）
左图：温柔型 右图：残酷型
(1) 找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡 答：温柔型在位者的纳什均衡为 (进入, 默认)
残酷型在位者的纳什均衡为 (不进入, （进入，斗争）) (2) 已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入？ 答：20p?10(1?p)??0 得到p??1/3
四、论述题
1、解释“囚犯困境”，并举商业案例说明。
（1）假设条件举例：两囚徒被指控是一宗罪案的同案犯。他们被分别关在不同的牢房无法互通信息。各囚徒都被要求坦白罪行。如果两囚徒都坦白，各将被判入狱5年；如果两人都不坦白，两囚徒可以期望被从轻发落入狱2年；如果一个囚徒坦白而另一个囚徒不坦白，坦白的这个囚徒就只需入狱1年，而不坦白的囚徒将被判入狱10年。
（2）囚徒困境的策略矩阵表。每个囚徒都有两种策略：坦白或不坦白。表中的数字分别代表囚徒甲和乙的得益。
囚徒乙 14
坦白 囚徒甲 坦白 -5， -5 不坦白 -1， -10 不坦白 -10， -1 -2， -2 （3）分析：通过划线法可知：在囚徒困境这个模型中，纳什均衡就是双方都“坦白”。给定甲坦白的情况下，乙的最优策略是坦白；给定乙坦白的情况下，甲的最优策略也是坦白。这里双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个上策均衡，即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。其结果是双方都坦白。
（4）商业案例：寡头垄断厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。当寡头厂商选择产量时，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔，选择垄断利润最大化产量，每个厂商都可以得到更多的利润。但卡特尔协定不是一个纳什均衡，因为给定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增加生产，结果是每个厂商都只得到纳什均衡产量的利润，它远小于卡特尔产量下的利润。
2、解释并讨论古诺的双寡头模型的纳什均衡。为什么其均衡是一种囚徒困境？
见上课笔记 或计算题第11题
3、用“小偷与守卫的博弈”说明“激励（监管）悖论”。
（1）假设条件举例：偷窃和防止偷窃是小偷和门卫之间进行博弈的一场游戏。门卫可以不睡觉，或者睡觉。小偷可以采取偷、不偷两种策略。如果小偷知道门卫睡觉，他的最佳选择就是偷；如果门卫不睡觉，他最好还是不偷。对于门卫，如果他知道小偷想偷，他的最佳选择是不睡觉，如果小偷采取不偷，自己最好去睡觉。
（2）小偷与门卫的支付矩阵表（假定小偷在门卫睡觉时一定偷成功，在门卫不睡觉时偷一定会被抓住）：
门卫 睡觉 小偷 偷 不睡觉 1，-1 -2, 0 不偷 0, 2 0, 0 （3）分析：通过划线法可知：这个博弈是没有纳什均衡的。门卫不睡觉，小偷不偷，双方
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都没有收益也没有损失；门卫不睡觉，小偷偷，门卫因为是本职工作得不到奖励，小偷被判刑丧失效用2单位；门卫睡觉，小偷不偷，门卫睡觉的很愉快得到效用2单位，小偷没有收益也没有损失；门卫睡觉，小偷偷，门卫因失职被处分而丧失效用1单位，小偷偷窃成功获得效用1单位。
（4）“激励（监管）悖论”说明：现实中，我们看到，当门卫不睡觉时，偷窃分子便收敛一阵；严打的时期一过，偷窃分子又开始兴风作浪，在不能容忍小偷过分猖狂的时候，门卫不得不再次开始认真。即偷的小偷越多，那么不睡觉的门卫将会越多，偷的小偷越少，不睡觉的门卫将越少；反过来，不睡觉的门卫越多，偷的小偷就越少，不睡觉的门卫越少，偷的小偷就越多。如果偷窃集团倾巢出动，那么门卫的选择也是全部不睡觉，但门卫一旦全部不睡觉，小偷最好选择全部不偷，小偷一旦选择全部不偷，门卫最好全部选择睡觉。
（5）结论：加重对小偷的处罚在长期中并不能抑制偷窃（而只能使门卫偷懒）；加重处罚失职门卫恰恰是会降低偷窃发生的概率。这种门卫和小偷的博弈所揭示的，政策目标和政策结果之间的这种意外关系，常被称为“激励的悖论”。
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