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?1?(?2?299)?1?(?2?2100)?2,?2?(1?299)?1?(1?2100)?2,?3?(2?298)?1?(2?299)?2.
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?上服从均匀分布，令
??x,y?0?x?1,x2?y?x??1,X?Y U???0,X?Y（I）写出(X,Y)的概率密度；
（II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求Z?U?X的分布函数F(z). 【答案】
2??3,0?x?1,x?y?x（I）f?x,y???
??0,其他11?1??1???PU?,X??PU?PX?UX??????； （II）与不独立，因为
2222??????（III）Z的分布函数
?0,z?0?3?z2?z3,0?z?1?FzZ??2 3132??2?z?1?2??z?1?,1?z?2?22?1,z?2?【解析】（1）区域D的面积s(D)?分布，所以
12(x?x)?，因为f(x,y)服从区域D上的均匀?031??3x2?y?xf(x,y)??.
其他??0（2）X与U不独立. 因为P?U???11??1??1?1,X??=P?U=0,X??=P?X?Y,X??? 22??2??2?121?1?1?1?P?U???,P?X???
2?2?2?2?
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所以P?U???11?1??1??,X???P?U??P?X??,故X与U不独立。 22?2??2??（3）F(z)?P{U?X?z}?P{U?X?zU?0}P{U?0}?P{U?X?zU?1}P{U?1}
?P{U?X?z,U?0}P{U?X?z,U?1}P{U?0}?P{U?1}
P{U?0}P{U?1}?P{X?z,X?Y}?P{1?X?z,X?Y}
??0,z?1??0,z?0?3?3??3232P{X?1?z,X?Y}?2(z?1)?(z?1)2,1?z?2 ?又P{X?z,X?Y}??z?z,0?z?1，
2??21?1?,z?2,z?1???2?20,z?0??323?z?z,0?z?1?2所以F(z)??. 3?1?2(z?1)2?3(z?1)2,1?z?2?22?1,z?2??3x2,0?x???（23）设总体X的概率密度为f?x,?????3，其中???0，???为未知参数，
?0,其他?X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令T?max?X1,X2,X3?。
（1）求T的概率密度
（2）当a为何值时，aT的数学期望为?
【解析】（1）根据题意，X1,X2,X3独立同分布，T的分布函数为
FT(t)?P{max(X1,X2,X3)?t}?P{X1?t,X2?t,X3?t}
}P{XtP{3X? ?P{X1?t2?}当t?0时，FT(t)?0；
}?t?{P1X?? }t3 第 12 页 共 12 页
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?t3x2?t9当0?t??时，FT(t)???3d???9；
?0???当t?0时，FT(t)?1，
3?9t8?,0?t??所以fT(t)???9。
?0,others?（2）E(aT)?aET?a根据题意， E(aT)?
??0t9t8?9dt?9a?， 10109a???，即a?
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