72
(2)
R1?r?R2
?q?l?
E?∴
?2π?0r 沿径向向外
(3)
r?R2
?q?0
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)
∴ E?0
??
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为
?1和?2，试求空间各处场强．
与
???rEPO?3?0，
则
???r?EPO???3?0,
∴
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为
?1?2，
?????????dEP?EPO?EPO??(r?r?)?OO'?3?03?03?0-6
?1?E?(?1??2)n2?0两面间，
?1?E??(?1??2)n2?0?1面外，
?1?E?(?1??2)n2?0?2面外，
?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球
心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电的组合，见题8-13图(a)．
∴腔内场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由q=1.0×10C
5-1
荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×10N·C
??p解: ∵ 电偶极子在外场E中受力矩
???M?p?E
Mmax?pE?qlE代入数字 ∴
Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m
8-15 两点电荷
q1=1.5×10
-8
C，
q2=3.0×10
-8
C，相距
r1=42cm，
要把它们之间的距离变为
r2=25cm，需作多少功?
?的均匀球与带电??的均匀小球
解:
?E??球在O点产生电场10?0，
(1)
A??r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)r24π?r4π?0r1r2 0?? 球在O点产生电场
?E2043πr?3?OO'34π?0d
??6.55?10?6J
?6外力需作的功 A???A??6.55?10 J
?r3?E0?OO'33?d0∴ O点电场；
?E10?43?d?3?OO'4π?0d3
(2)
?E??球在O?产生电场20??0
??在O?产生电场
A，B两点处放有电量分别为+q,-qq的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷0从O点
8-16 如题8-16图所示，在
经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示
题8-16图
??E0??3?0OO'
∴ O? 点电场
1qq(?)?04π?0RR 1qq??qUO?(?)4π?03RR6π?0R
UO?41
72
qqA?q0(UO?UC)?o6π?0R
∴
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl轴负方向
8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离
-1
为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ U
?dq??Rd?dEO则产生点如图，由于对称性，O点场强沿y?Rd?
?Ed?1.5?104V
??8-20 根据场强E与电势U的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题8-20图)．
U?解: (1)点电荷 题 8-20 图
q4π?0r
题8-17图
??U?q?E??r0?r?20r?r4π?r0∴ 0为r方向单位矢量．
(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势
E??dEy??2??Rd?cos??4π?R202
????sin(?)?sin4π?0R［22］
???2π?0R
?AB电荷在O点产生电势，以U??0
A?dx2R?dx?U1?????ln2B4π?xR4π?x4π?000
?U2?ln24π?0同理CD产生
(2)
4π?0R2?x2
???U?qxE??i?i223/2?x4π?R?x0∴
??p?ql在r??l处的一点电势
(3)偶极子
q11qlcos?U?[?]?ll4π?04π?0r2(r?cos?)(1?cos?)22?Upcos?Er???3?r2π?r0∴
U?q??
U3?半圆环产生
πR???4π?0R4?0E???
UO?U1?U2?U3?∴
4-1
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量10kg，电子电量e=1.60×10C)
-31
-19
??ln2?2π?04?0
8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同． 证: 如题8-21图所示，设两导体
1?Upsin??r??4π?0r3m0=9.1×
A、B的四个平面均匀带电的????电荷面密度依次为1，2，3，4
解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强
E??2π?0re?Fe?eE?2π?0r
电子受力大小
题8-21图
e?v2?m2π?rr0∴
2(1)则取与平面垂直且底面分别在
时，有
sA、B内部的闭合柱面为高斯面
???E?dS?(?2??3)?S?0
??得
2π?0mv?12.5?10?13C?m?1 e42
3∴ 2
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
????072
(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
?1?2?3?4????02?02?02?02?0
???3?0
又∵ 24 ∴ 1说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
题8-23图
????U??E?dr??R2R2
???A，B和C的面积都是200cm，A和B相
距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多
8-22 三个平行金属板
2
-7
(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：
qdrq?4π?0r24π?0R
少?
U?q4π?0R2?q4π?0R2?0
?解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为1，右侧面电
荷面密度为
?2(3)设此时内球壳带电量为q；则外壳内表面带电量为?q，外壳外表面带电量为?q?且
??
q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，
q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2
UA?q??
题8-22图
(1)∵ ∴
UAC?UAB，即
得 外球壳上电势
R1qR2 ?q'4π?0R2?EACdAC?EABdAB
心相距为d荷的电量．
UB?q'4π?0R2?q?q'?R1?R?4π?0R24π?0?1EACdAB???2?EdABAC∴ 2
且
8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球
?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电
??1+?2?qAS解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q，则球接地时电
势
q2q?2?A,?1?A3S 3S 得
2qC???1S??qA??2?10?7C 3而
qB???2S??1?10(2)
?7UO?0
C 由电势叠加原理有：
8-24图
?UA?EACdAC?1dAC?2.3?103?0V
RRRR8-23 两个半径分别为1和2（1＜2)的同心薄金属球壳，
现给内球壳带电+q，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电
得
8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；
(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
q'q??0UO?4π?0R4π?03R
qq???3F?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为
?q，且均匀分布，其电势
43
q2F0?4π?0r2解: 由题意知
72
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
q2,
小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
3q???q4
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
32qq'q\38F1???F0228 4π?0r4π?0r(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均2q为3.
22qq4F2?332?F04π?0r9
∴ 小球1、2间的作用力
q??*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势A=U，B=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势． 解: 依次设
所以CB间电场
E2??4Uq??d2?0S?0
d1qd?(U?)222?0S
UUC?2，若C片不带电，显然注意：因为C片带电，所以
UUC?2
RR8-27 在半径为1的金属球之外包有一层外半径为2的均匀电
UC?UCB?E2介质球壳，介质相对介电常数为
(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
解: 利用有介质时的高斯定理(1)介质内
?r，金属球带电Q．试求：
??D??dS??qS
UU(R1?r?R2)场强 ???Qr?QrD?,E内?34πr4π?0?rr3;
A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为
?1，?2，?3，?4,?5,?6如图所示．由静电平衡条件，电荷
守恒定律及维持
UAB?U可得以下6个方程
(r?R2)场强
??Qr?QrD?,E外?34πr4π?0r3
(r?R2)电势
(2)介质外
??Q?U??E外?dr?r4π?0r
介质外
U??题8-26图
?r?????E内?dr??E外?drr介质内(R1
?r?R2)电势
?0UqA1??????CU?20?1SSd??????q4?3S??????qB???0U6?5Sd?????03?2??4??5?0???1??2??3??4??5??6
q?1??6?2S 解得
?Uq?2???3?0?d2S ?Uq?4???5?0?d2S
44
?11Q(?)?4π?0?rrR24π?0R2q
? (3)金属球的电势
1??1(?r)4π?0?rrR2 QR2R2?????U??E内?dr??E外?drR1
??R2Qdr4π?0?rr2R??QdrR24π?r20?
?Q4π?0?r(8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
1?r?1?)R1R2
?解: 如题8-28
?E??强为1，自由电荷面密度分别为2与1
由
?E图所示，充满电介质部分场强为2，真空部分场
72
A和B的中心相距为r，A和B原来都不带
qq电．现在A的中心放一点电荷1，在B的中心放一点电荷2，
*8-30 金属球壳
如题8-30图所示．试求： (1)
??D??dS??q0得
q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；
D1??1，D2??2
而
D1??0E1,D2??0?rE2
(2)去掉金属壳B，求
速度． 解: (1)
q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加
UE1?E2?d
?2D2???r?D1∴ 1
q1作用在q2的库仑力仍满足库仑定律，即
F?1q1q24π?0r2
但
q2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．
B，
(2)去掉金属壳
q1作用在
q2上的库仑力仍是
F?1q1q24π?0r2，但此时
q2受合力不为零，有加速度．
题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为＞
R1和R2(R2的均匀电介
R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?RR
质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：
(1)在半径r处(1＜r＜2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当
(S)
题8-30图 题8-31
图
8-31 如题8-31图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，
???D?dS?2πrlD
(R1?r?R2)时，?q?Q
D?Q2πrl
C3=0.20?F ．C1上电压为50V．求：UAB．
解: 电容
C1上电量
∴
D2Q2w??2222?8π?rl(1)电场能量密度
Q1?C1U1
C?C2?C3 CC电容2与3并联23
其上电荷
Q23?Q1
Q2Q2drdW?wd??2222πrdrl?8π?rl4π?rl薄壳中
(2)电介质中总电场能量
U2?
∴
Q23C1U125?50??C23C2335
25)?8635
W??dW??VR2R1RQdrQ?ln24π?rl4π?lR1
22UAB?U1?U2?50(1?
V
Q2W?2C(3)电容：∵
8-32 C1和C2两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，
把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V压，是否会击穿? 解: (1)
Q22π?lC??2Wln(R2/R1)
∴
C1与C2串联后电容
C??C1C2200?300??120C1?C2200?300 pF
(2)串联后电压比
45