由于在两组坐标系中的矢量s相同，可以得到：
cosZ?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?
上式中，Z为天顶角，与太阳高度角h互余；?为太阳赤纬角，?为观测点所在的纬度，?为t时刻的太阳光与正午的太阳光的夹角。
由于天顶角Z与太阳高度角h互余，可将公式转化为与太阳高度角的公式，如下：
cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?
由此就得到了太阳高度角h的公式。 5.1.2模型的求解
根据以上的推导，得到了太阳高度角h随赤纬度、纬度、时间的变化关系。将太阳高度角的变化函数与杆长相联立，即可得到影长的变化函数。即将如下两公式联立：
H??l? ?tanh??sinh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?将以上两公式联立即可得到影长随时间变化的规律。
在上述公式中，杆长和纬度已知，赤纬角和时角?未知，还需要进行进一步的数据处理。
题一中，具体日期已知，为10月22日。根据库伯公式，可得出每个确切日期太阳所对应的太阳赤纬角。其公式如下：
284?n) 365??23.45sin(360式中的n为从1月1日开始算起，到现在日期的天数，在上式中n为295.
利用上述公式，可求?为-12.10。
而时角?为t时刻的太阳光与正午的太阳光的夹角，由于一天之中，太阳相对于绕了地球一圈。即24小时内绕了360度，每个小时绕了15度。在正午时分，时角的大小为0度。由此可以推导出时间与时角的公式：
??（t?12)*15
其中t为24小时制。
此时，太阳高度角只与时间有关系。即在确切的时间地点，影长只与此时一天中的时刻有关系。将公式导入MATLAB，得出时间与影长的变化曲线。如下图：
表五.影长随时间变化
5.2模型的建立与求解
问题二给出了某固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，要求建立模型确定直杆所处的地点。
影长公式的模型中共有5个参数，分别为影长、杆长、赤纬角、纬度、时角。问题二可利用坐标点求出直杆影长；给出了具体的日期，根据库伯公式可以得出赤纬角；时角可根据问题所给的北京时间推算得出。剩下的杆长与纬度则需要进行拟合求出其可能的最优解。 5.2.1经度的求解模型
根据从问题一得出的影长随时间变化的图形，可以看出，时间与影长的函数关系图与二次函数的图像类似，可以将附件一给出的数据用二次函数进行拟合，得出时间与直杆影长的近似函数关系。
22?y0设给定的坐标为.每个坐标与（x0,y0)，则影长l的计算公式为：l?x0唯一的影长一一对应。在得到杆影长后，可以用时间为横坐标，以影长为纵坐标建立起影长的坐标系。以(t,l)画散点图，用二次函数对所画的散点图进行拟合，得到一个二次函数关系，形式如下：
l?at2?bt?c
由于影长的变化的规律都是早晨与傍晚最长，正午最短，所以拟合出的直线为开口向上的函数，并且含有一个大于0的最小值。影长最小的值出现的时间一定为当地的正午时间。由于给定的时间为北京时间，所以求出的当地的正午时间所对应的时间形式也应为北京时间。
每个经度正午时间所对应的北京时间都不同，由于太阳每个小时所走的经度为15度。由此可求出此地所对应的经度。公式如下：
J?116023?15*(t1?12)
式中，J为此地的经度，116023为北京当地的经度，t1为此地的正午时间所对应的北京时间。
通过以上公式便可确定地点的经度，并且可以利用它得出的经度值求出相应的时角?，为接下来的解题做准备。
5.2.2纬度和杆长的求解模型
在影长相对于时间变化的五个参数影长、杆长、赤纬角、纬度、时角中，赤纬角可通过库伯公式得到，影长则可利用坐标点进行计算，时角与经度有关。只剩下直杆长与纬度位置未知。
通过坐标点可以求出直杆影长，而问题一已经得出了影长随时间变化的模型。可以用所得出的理论上的直杆影长去逼近实际直杆影长，在逼近过程中，可求出直杆长和纬度的最优解。逼近的方法如下：
nminZ??(i?1H?li) tanhi式中，Z目标函数，H为假定的直杆长，li为附件所给定的第i个坐标下的影长，
hi为附件所给出的第i个坐标对应的太阳高度角。
此公式的意义是，在已知影长与时间的关系的情况下，用公式所决定的理想曲线去逼近现有的曲线，由此可以得出最优解。
在上式中，hi与太阳赤纬角，纬度，时角存在如下关系：
cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?
式中，? 为赤纬角，?角为当地纬度，?为时角。
在确定该地点的正午时间相对于北京t1后，时角?可通过公式求解，如下：
??（t?t1)*15
在确定其具体日期时，赤纬角?可利用库伯公式进行换算，换算方式如下：
??23.45sin(360284?n) 365式中的n为从1月1日开始算起，到现在日期的天数。
将所有的可求数据进行求解，此时，我们可以得到完整的求解模型，模型如下：
nminZ??(i?1H?li)； tanhi?cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos???s.t???（t?t1)*15； ?22l?x?y?00?i式中，Z目标函数，H为假定的直杆长，li为附件所给定的第i个坐标下的影长，
? 为赤纬角，hi为附件所给出的第i个坐标对应的太阳高度角，hi为太阳高度角，?角为当地纬度，?为时角。
通过上述模型即可得拟合得出近似的杆长H和纬度?。 5.2.3地点的求解
用附件一所给出的时间做横坐标，用通过计算所得的影长为纵坐标，画散点图，用二次函数的关系进行拟合。得到如下的图像：
表六.拟合曲线
t2?0.0089?0.55.得出其拟合度为拟合出的二次函数关系为， l?0.000371.说明我们的拟合是成功的。
通过得出的拟合关系，得到在t1?12:36:56，即在北京时间12:36:56时，此地正好为正午时间。通过经度与时间的转换关系：J?116023?15*(t1?12) 可得其经度为110.7750。
（t?t1)*15得出时角的得出经度后，再利用时角与正午时间的关系??确切表达式，其中t1?12:36:56。附件一给出的日期4月18号，根据库伯公式求得其赤纬角为10.510。
在得出赤纬角，时角，给定影长后，用求解模型进行拟合，得出直杆长
H?1.97m，纬度为18.50。
综上所述，附件一可能的地点为经度为110.7750，纬度为18.50。通过地图的查找，其位置为海南省陵水县。 5.3问题三的模型建立与求解
问题三依旧是给出了某固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，要求建立模型确定直杆所处的地点与日期。相比于问题二来讲，只是缺少了具体的日期。也就是缺少了赤纬角的求解。其求解过程也大致类似于问题二。 5.3.1经度的确定
同样是利用时间与影长的数据做二次函数的拟合，得出其最短影长所对应的北京时间，即为当地的正午时间。再利用正午的北京时间与经度转换公式求出该地点的经度。时间与经度的转换时间公式如下：
J?116023?15*(t1?12)
式中，J为经度，t1为得到的正午北京时间。
同时，在得到正午的北京时间t1后，还可以求出其时角的变化的规律，其变化规律如下：
??（t?t1)*15；
式中，?为时角，t1为得到的正午时间。
通过上述的过程，可以得到该地点的经度与时角变化规律。 5.3.2纬度和杆长的求解模型
在进行上述的求解后，影长的模型的五个重要参数直杆长、影长、赤纬角、纬度、时角确定了时角，影长有附件的坐标点可求出。即在影长的模型公式中，直杆长，纬度，赤纬角为未知数。
同样，利用附件得出时间与影长的散点图。再利用已知的影长随时间变化的模型对其进行逼近。得出赤纬角，直杆长，纬度的最优解。其模型如下：
nminZ??(i?1H?li) tanhi?cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos???s.t???（t?t1)*15 ?22??li?x0?y0式中，Z目标函数，H为假定的直杆长，li为附件所给定的第i个坐标下的影长，
? 为赤纬角，hi为附件所给出的第i个坐标对应的太阳高度角，hi为太阳高度角，
?角为当地纬度，?为时角。
得到赤纬角、直杆长、纬度的长度后，利用库伯公式将赤纬角反推出日期。 5.3.3地点与时间的求解
对附件二的数据利用二次函数进行拟合，得出其最短影长的北京时间，即当地的正午时间为北京时间的下午2点08分，将转化为24小时制，为14.13小时。利用正午时间与经度之间的关系式，如下：
J?116023?15*(t1?12)；
式中，J为该地点的经度，t1为该观测点所对应的正午北京时间，为24小时制。
经过计算得出其经度为东经880度。
再利用理想的杆影长与时间的模型第实际的散点图进行拟合。得到两个可能的最优解第一个为南纬16.470，东经880，时期为5月14号，具体位置为印度洋。第二个为北纬33.790，东经880，时期为4月15号，具体位置为西藏自治区。
对附件三同样先进行二次函数拟合，得出其正午的北京时间为12时43分。将其转化为24小时制，为12.72小时。
利用转换公式将其转换，得其经度为东经109.1250。
再利用理想的杆影长与时间的模型第实际的散点图进行拟合。得到两个可能的最优解，一个是南纬33.150，东经109.1250，日期为4月21日，地点在印度