－－
解析：x＝2.5，y＝3.5，代入回归方程，得3.5＝－0.7×2.5＋a，∴a＝5.25. 答案：A
4．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：
x y
6
－－
则x＝________，y＝________，?x2i＝________，
i＝1
3 4 5 6 2 3 8 9 9 12 12 14 i＝1
?xiyi＝________，回归方程为________．
6
66
－－
解析：根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得x＝6.5，y＝8，?x2＝327，?xiyii
i＝1
i＝1
＝396，
回归方程为y＝1.14x＋0.59.
答案：6.5 8 327 396 y＝1.14x＋0.59
5．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 －1 64 由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．
18＋13＋10－124＋34＋38＋64解析：x＝＝10，y＝＝40，则a＝y－b x＝40＋2×10
44＝60，则y＝－2x＋60，则当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x y
(1)请画出上表中数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．(参考数值：3×2.5＋4×3
- 6 -
3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 ＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)散点图如图所示．
(2)由对照数据，计算得： －3＋4＋5＋62
∑x＝86，x＝＝4.5， i
4i＝1
－2.5＋3＋4＋4.5
y＝＝3.5.
4
4
4
又已知∑xiyi＝66.5， ＝
i1
－－
∑xy－4x y66.5－4×4.5×3.5iii＝1
∴b＝4＝＝0.7，
－286－4×4.522
∑xi－4x＝
i1
4
－－
a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3)90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)，
故生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤．
一、选择题
1．设有一个回归方程y＝2－1.5x，当x增加1个单位时( ) A．y平均增加1.5个单位 B．y平均减少1.5个单位 C．y平均增加2个单位 D．y平均减少2个单位
解析：y′＝2－1.5(x＋1)＝2－1.5x－1.5＝y－1.5，即x增加1个单位，y平均减少1.5个单位．
答案：B
2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b( ) A．可以小于0 B．只能大于0 C．只能等于0 D．只能小于0
- 7 -
－－
x1y1＋x2y2＋?＋xnyn－nxy
解析：∵b＝，∴b的取值是任意的．
－2222
x1＋x2＋?＋xn－nx答案：A
3．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( ) ．
A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)
B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)中的一个点
i＝1
?xiyi－nx y?x2i－nx
n
n
C．直线y＝bx＋a的斜率为 2
i＝1
D．直线y＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)的接近程度?[yi－(bxi＋a)]2是该
i＝1
n
坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线
解析：直线y＝bx＋a一定过点(x，y)，但不一定要过样本点． 答案：B
4．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关^系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，?，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
^
解析：当x＝170时，y＝0.85×170－85. 71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D不正确．
答案： D
5．(2011·山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 销售额y(万元)
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
- 8 -
4 49 2 26 3 39 5 54 A．63.6万元 C．67.7万元
B．65.5万元 D．72.0万元
－－－－
解析：容易计算得x＝3.5，y＝42，故a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
答案：B 二、填空题
6．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)．调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回－
归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由回归直线方程的意义知，x每增加1万元，y平均增加0.254万元． 答案：0.254
7．对一质点的运动过程观测了4次，得到如下表所示的数据，则刻画y与x的关系的线性回归方程为____________.
x y
44
－－2
解析：x＝2.5，y＝3.75，∑xy＝46，∑xiii＝30， ＝＝
i1
i1
1 1 2 3 3 5 4 6 46－4×2.5×3.75－－b＝＝1.7，a＝y－bx＝－0.5， 230－4×2.5所以所求的线性回归方程为：y＝1.7x－0.5. 答案：y＝1.7x－0.5
8．(2011·广东高考)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 命中率y
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：小李这5天的平均投篮命中率为(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)÷5＝0.5. －－
又x＝3，y＝0.5， 由表中数据，得b＝0.01， －－
a＝y－bx＝0.47，
1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4 - 9 -
故回归直线方程为y＝0.01x＋0.47. 令x＝6，则有y＝0.01×6＋0.47＝0.53. 答案：0.5 0.53 三、解答题
9．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量(单位：千克)影响的试验，得到如下一组数据：
施化肥量 水稻产量
(1)作出这些数据的散点图；
(2)由(1)分析两变量关系得出什么结论？ (3)求出回归直线方程． 解：(1)如图所示．
15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
(2)由(1)可看出，各点散布在从左下角到右上角的区域内，为正相关，也可以说在适量限制范围内水稻产量随施肥量的增大而增大，但不是直线递增．
77
－－2
(3)用科学计算器可求得x＝30，y＝399.3，∑xi＝7 000，∑xiyi＝87 175.于是 ＝＝
i1
i1
b＝
i1
－－
∑xiyi－7x y＝
i1
7
－22∑x－7xi＝
7＝
87 175－7×30×399.3－－
≈4.75.a＝y－bx＝399.3－4.75×30≈257.因27 000－7×30
此所求回归直线方程为y＝4.75x＋257.
10．(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 销量y(件)
^－－(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 - 10 -
1
解：(1)由于x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
61
y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
6
^
所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 33
＝－20(x－)2＋361.25.
4
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
- 11 -