5.1.3 口服或者肌肉注射
药物经过口腔或者肌肉注射输进人体时，会先出现一个被血液吸收的过程，其后再随着血液循环进入中心室。因此将这个过程简化为一个吸收室。 如图4所示：
吸收室k1x0中心室x0(t)
图4：吸收室与中心室示意图
分析知：
dx??k1x0(t) dt(12) (13) (14) (15)
x0(t)满足初始条件为：
x0(0)?D
药物进入中心室的速率为：
f0(t)?k1x0(t)
将模型（12）和条件（13）确定的解x0(t)代入方程（14）得：
f0(t)?k1De?k1t
将方程（15）和条件c(0)?0代入（4）可求解出方程（3）的解。 故口服（或肌肉注射）的血药浓度方程为：
?Dk1tk?k1?Vekt,? c(t)??(k?k1)t?1?Dk1e,k?k1kt?V(k?k)e1???血药浓度曲线如下图5：
图5：口服（或肌肉注射）血药浓度
5.2 快速静脉注射的多次重复给药方式
在问题1的求解结果下，进一步分析快速静脉注射的多次重复给药方式下血药浓度变化和给药方案。
5
5.2.1 血药浓度变化
由问题1可知，在t??0,T?时间段内快速静脉注射时间的血药浓度为方程（6）。
设多次重复给药时间间隔T，则在未进行第二次注射的条件下，T时刻血药浓度为：
De?kT?c(T)?
V第二次注射后，T时刻血药浓度为：
D(e?kT?1)?c(T)? (16)
V当t??T,2T?时的血药浓度为：
?D(e?kT?1)?c(t)?e??
V??根据（17），在未进行第三次注射的条件下，2T时刻血药浓度：
?kT?1)?D(e?kT?e?2kT)??kT?D(e c(2T)?e? ??VV???k(t?T)(17)
第三次注射后，2T时刻血药浓度为：
D(1?e?kT?e?2kT)?c(2T)?
V计算当t??2T,3T?时的血药浓度，代入初始条件为（18）。 故当t??2T,3T?时的血药浓度为：
?k(t?2T)(18)
?D(1?e?kT?e?2kT)?(19) c(t)?e??
V??顺次递推可知，在未进行第n?1次注射的条件下，nT时刻的血药浓度为：
Dn?ikT?(20) c(nT)??e(i?1,2,3?,n)
Vi?1第n?1次注射后，瞬时的nT时刻血药浓度为：
Dn?ikT?(21) c(nT)??e(i?0,1,2?,n)
Vi?0De?kt
经过分析可知方程（20）、（21）的右侧分别是以，1为首项，e?kt为公比
V
的等比数列，应用等比数列求和公式可以推导出方程（20）、（21）的另一种形式：
De?kt?1?? (22) c(nT)?1???ktnkT?V(1?e)?e?D1?? (23) c(nT?)?1???ktnkT?V(1?e)?e?当n??时，c(nT?)和c(nT?)的极限分别为(De?kt)(V?Ve?kt)和D(V?Ve?kt)。
由方程（6）、（17）、（19）运用MATLAB可以画出快速静脉注射的多次重复给药方式下血药浓度变化曲线图。
6
血药浓度变化如图6所示：
图6：多次重复快速静脉注射血药浓度变化
不妨设c1?c(t)?c2，在整个重复给药过程中，血药浓度都应控制在该范围，由图6分析可知：
?De?ktc1???V (24) ?D?c2??V(1?e?kt)?整理方程组（24）可知：
2kTkT??c1e?c2e?c2?0 (25) ?22??D?c2VD?c1c2V?0若给定c1，c2和V的值代入方程组（25）可确定出时间间隔T和给药量D。 5.2.2 给药方案
分析可知，给药方案中血药浓度变化应如图7所示：
图7：给药方案中血药浓度变化
故应根据稳态条件下方程（22）、（23）中血药浓度的极限分别赋值给为c1、c2，化简求得给药剂量D和时间间隔T为：
?D?V(c2?c1)?(26) lnc2?lnc1 ?T??k?故采取加大首次剂量给药的方式，给药方案是：首次给药剂量增至c2V，给
定c1、c2、V的值根据条件（26）来确定以后每一次重复给药的时间间隔和药物剂量。
7
5.3 问题3的模型建立与求解
参考问题2的解题思路，综合目前的各个已知条件，来进行最后一问的求解。现考虑恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式的血药浓度变化以及恒速静脉滴注的给药方案。
5.3.1 恒速静脉滴注多次重复给药方式
现讨论问题3关于恒速静脉滴注的血药浓度变化和给药方案。 5.3.1.1 血药浓度变化
由问题1知当0?t?T时，在恒定速率滴注条件下，血药浓度为（11）。 分析知T??，将t?T代入方程（11）解出：
k0ek(??T)(1?e?k?)c(T)? (27)
kV在第二次滴注时，血药浓度初始条件为（27）和f0(t)?k0，根据（4）可推出
T?t?T??时，血药浓度变化为：
k0(1?e?k(t?T))k0ek(??t)(1?e?k?)? c(t)?
kVkV将t?T??代入（28）有：
k0(1?e?k?)(1?e?kT)c(T??)?
kV (28)
(29)
故当T???t?2T时，初始条件为（29）和f0(t)?0，根据（4）可推出血药浓度变化为：
k0e?k(t?T)(ek??1)(1?e?kT)c(t)?
kVt?2T代入（30）可表示出t?2T时的血药浓度
k0e?kT(ek??1)(1?e?kT)c(2T)?
kV(30)
(31)
故2T?t?2T??时初始条件为（31）和f0(t)?k0。根据（4）可推出血药浓度变化为：
k01?e?k(t?2T)k0ek(?t?T)(ek??1)(1?e?kT)c(t)?? (32)
kVkV将t?2T??代入（32）可表示出2T??时刻血药浓度：
k01?e?k?k0e?k(T??)(ek??1)(1?e?kT)c(2T??)?? (33)
kVkV????当t??2T??,3T?时，血药浓度初始条件为（33）和f0(t)?0。根据（4）可推出血药浓度变化为：
k0e?k(t?2T)(ek??1)(1?e?kT?e?2kT)c(t)? (34)
kV将t?3T代入（34）表示出t?3T时刻血药浓度：
k0(ek??1)(e?kT?e?2kT?e?3kT)c(3T)? (35)
kV
8
根据方程（11）、（28）、（30）、（32）、（34）所画血药浓度曲线如下图8：
图8：多次重复恒定速率滴注血药浓度变化
5.3.1.2 给药方案
对于恒速静脉滴注，由（27）、（29）、（31）、（33）、（35）可递推表示出：
1k0e?kT(ek??1)(1?nkT)ec(nT)? (36) ?kTkV(1?e)k0e?k(T??)(ek??1)(1?e?nkT)k0(1?e?k?) (37) c(nT??)??kVkV(1?e?kT)在稳态条件下，当n???时，对方程（36）、（37）的右侧进行极限计算，极限值分别为 k0(ek??1)kV(ekT?1)，k0(1?e?k?)kV(1?e?kT)。 不妨设血药浓度范围为c1?c?c2，c1、c2分别取为稳态条件下方程（36）、（37）右侧的极限，可以表示出静脉滴注速率k0和给药时间间隔T：
lnc2?lnc1?T????k? (38) ?k?(ce?c)kV1?k0?2?(ek??1)?故给药方案是在给定滴注持续时间?、排除速率系数k以及血药浓度范围最小、最大值c1、c2的条件下，确定出给药时间间隔T和滴注速率k0。 5.3.2 口服或肌肉注射的多次重复给药方式
由问题1可知在t??0,T?内，口服（或肌肉注射）的血药浓度变化为：
?Dk1t?Vekt,?c(t)??(k?k1)tDke?1?1,kt?V(k?k)e1?k?k1
(39)
??k?k1将t?T代入（39）得：
?Dk1T?VekT,?c(T)??(k?k1)TDke?11?,kT??V(k?k1)ek?k1
(40)
??k?k1 9