二次插值法亦是用于一元函数线拟合方法的范畴。 一、基本原理
在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲
在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，
然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我
们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间其函数值分别为
、
和
中有三点(图1}，且满足
、和，
，即满足函数值为两头大
，
中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数式
为一个二次多项
（1）
式中、、为待定系数。
图1
根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得
（2）
为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即
（3）
解式(3)即求得插值函数的极小点（4）
式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:
（5）
（6）
将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：
（7）
把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持
两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。 为便于计算，可将式(7)改写为
作为
的
（8）
式中：
（9）
（10）
二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点
通常取初始搜索区间计算函数值。
的两端点及中点为，
，
，，
、
。、
，构成三个初始插值结点
(2)计算二次插值函数极小点
按式(8)计算第一次插值或
，并将记作点，计算。若本步骤为对初始搜索区间的
点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(4)
(3)缩短搜索区间
缩短搜索区间的原则是：比较函数值此点左右两邻点分别取作新的法则如图2所示，根据原区间中
和和
、，取其小者所对应的点作为新的点，并以。其具体方
，构成缩短后的新搜索区间的相对位置以及函数值
和
之比较有a、b、
、，
c、d四种情况，图中阴影线部分表示丢去的区间。在对新区间三个新点的代号作依次
、
的一般化处理后，计算其函数值，并令
，
，
返回步骤(2)。
图2（a）
图2（b）
图2（c）