④当
333 11?的中点F?S为菱形APC1FTS的面积=AC1PF=22综上,命题正确的是:①②③⑤.. 考点：立体几何综合应用. 8．（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）【解析】 3?2=6. 223.；（Ⅲ）. 42试题分析：（Ⅰ）在?PAD中，PA?PD,Q为AD中点.所以PQ?AD；又因为平面PAD?底面ABCD，且平面PAD?底面ABCD?AD，由面面垂直的性质定理可得到PQ?底面 ABCD，再由线面垂直的性质得PQ?AB； （Ⅱ）由（Ⅰ）及已知条件易得AD?QB，PQ?AD和PQ?BQ；故可以Q为坐标原点， 建立空间直角坐标系Q?xyz.从而由空间向量知识及得直线PB与平面PCD所成角的正弦值； 可求 （Ⅲ）在（Ⅱ）中所建立的空间直角坐标系中，求出平面PQB的法向量和平面MQB的法向量，代入公式二面角的夹角公式即可求出二面角P?QB?M的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）证明：在?PAD中，PA?PD,Q为AD中点. 所以PQ?AD 1分 因为平面PAD?底面ABCD，且平面PAD?底面ABCD?AD 所以PQ?底面ABCD 3分 又AB?平面ABCD 所以PQ?AB. 4分 （Ⅱ）解：在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC?所以BC//QD ?1AD,Q为AD中点 2所以四边形BCDQ为平行四边形 因为AD?DC 所以AD?QB 由（Ⅰ）可知PQ?平面ABCD 所以，以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系，Q?xyz.如图. 则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,3),C(?1,3,0), D(?1,0,0),B(0,3,0). uuruuuruuur所以PB?(0,3,?3),CD?(0,?3,0),PD?(?1,0,?3) 6分 ?设平面PCD的法向量为n?(x,y,z),则 ?????????n?CD?0??3y?0?y?0,亦即?,即? ??????????x??3z??x?3z?0?n?PD?0?令z?1，得x??3,y?0.所以n?(?3,0,1) 8分 设直线PB与平面PCD所成角为?，则 ??????????n?PB2??sin??|cos?n,PB?|?????. 4|n||PB|所以PB与平面PCD所成角的正弦值为 2. 10分 4（Ⅲ）解：如（Ⅱ）中建立空间直角坐标系 因为AQ?PQ,AQ?BQ 所以AQ?平面PQB ????????即QA为平面PQB的法向量，且QA?(1,0,0). 11分 因为M是棱PC的中点 所以点M的坐标为(?133,,) 222????又QB?(0,3,0) ??设平面MQB的法向量为m?(x,y,z). ????????m?QB?0则??????? ???m?QM?0?3y?0?即?1 33y?z?0??x??222令z?1,得x?3,y?0 ??所以m?(3,0,1) 13分 ????????????OA?m3?所以cos?QA,m????? ?|OA||m|2由题知，二面角P?QB?M为锐角 所以二面角P?QB?M的余弦值为 3 14分 2考点：1.直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 直线与平面所成的角；3.二面角. 19．（1）5π;（2）在AD上存在点E，使AM∥平面BCE, . 3【解析】 试题分析：（1）在△ACD中，AC＝2，CD＝2，AD＝2， 利用AC＋CD＝AD证得AC⊥CD，根据PA⊥平面ABCD得到PA⊥CD，从而有CD⊥平面PAC， CD⊥PC； 根据△PAD、△PCD均是以PD为斜边的直角三角形， 取PD的中点O，则OA＝OP＝OC＝OD＝2 2 2 5，计算即得所求. 21BC， 又BC∥AE，得到MN2111AEBC＝AD，＝ . 243ED（2）根据观察分析，取PC的中点N，连接MN，EN，得到MN∥AE； 由AM∥平面PCE，得 AM∥EN，四边形AMNE为平行四边形，AE＝MN＝考点：1.球的表面积；2.平行关系、垂直关系. 10．（1）参考解析；（2）参考解析；（3）3 【解析】 试题分析：（1）由DC?2AD?2，PE:EC?1:2，即可得到线段成比例，即得到直线平行，再根据直线与平面平行的判断定理即可得到结论. （2）由平面PAC?平面ABC，PD?AC于点D，并且AC是平面PAC与平面ABC的交线，根据平面垂直的性质定理即可得PD垂直平面ABC，再根据平面与平面垂直的判断定理即可得到结论. （3）由DC?2AD?2即可得AC=3.又由PD?2，AB?3，?ABC?60?， 在三角形ABC中根据余弦定理即可求得BC的值.所以三角形ABC的面积可以求出来，由于PD垂直于平面ABC所以PD为三棱锥的高，即可求得结论. （1）?PEAD??2,?DE//PA， 2分 ECDC?DE?平面PAB,PA?平面PAB, ?DE//平面PAB； 3分 （2）因为平面PAC?平面ABC， 且平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC， 所以PD?平面ABC， 6分 又PD?平面PAC， 所以平面PAC?平面ABC． 7分 （3）由（2）可知PD?平面ABC． ?法一：?ABC中，AB?3,?ABC?60,AC?3， ABAC1?，得sin?ACB?， sin?ACBsin?ABC2??因为AC?AB，所以?ACB??ABC，则?ACB?，因此?CAB?， 8分 62由正弦定理 △ABC的面积S?ABC?1133AC?AB??3?3?． 10分 2221?S?ABC?PD?3． 12分 3所以三棱锥P?ABC的体积VP?ABC?法二：?ABC中，AB?3，?ABC?60?AC?3，由余弦定理得： AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos60?，所以AC2?3AC?6?0， 所以AC?23或AC??3(舍去）． 8分 △ABC的面积S?ABC?11333． 10分 AB?BC?sin60???3?23??22221?S?ABC?PD?3． 12分 3所以三棱锥P?ABC的体积VP?ABC?考点：1.线面平行.2.面面垂直.3.三角形的余弦定理.4.三棱锥的体积.