第7章 线性定常离散时间状态空间设计法
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
引言
状态反馈配置极点 状态估值和状态观测器
利用状态估值构成状态反馈以配置极点 扰动调节 无差调节
7.1
引言
一个被控对象：
?x(k?1)?Fx(k)?Gu(k)? ?y(k)?Cx(k)x(k):n?1,u(k):m?1,F:n?n,G:n?m,C:r?n当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ? 扰动，比如负载扰动 ? 测量噪声
? 给定输入的指令信号 ? 输出 如图7.1所示。
dL(k)扰动e(k)测量噪声7.1
ur(k)给定输入uc(k) 控制器控制u(k)Gx(k+1)1zx(k)Cy(k)yp(k)输出被控对象F
图7.1 控制系统示意图
根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。
伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。
7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。
7.2 状态反馈配置极点
工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈
u(k)?v(k)?Lx(k)
7.2
如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得
?x(k?1)?Fx(k)?Gu(k)? ?y(k)?Cx(k)?u(k)?v(k)?Lx(k)?整理得
7.3
?x(k?1)??F?GL?x(k)?Gv(k) ?y(k)?Cx(k)?u(k)Gx(k+1)1z7.4
v(k)x(k)Cy(k)被控对象LFv(k)Gx(k+1)1zx(k)Cy(k)F+GL
图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点
闭环系统的特征方程为
det?zI?(F?GL)??0
7.5
问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n个特征根??????????????n，有?
det?zI?(F?GL)???(z??i)?0
i?1n7.6
定理：状态反馈配置极点
若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F, G）是一个能达对（能达性矩阵
，则一定存在一个r行n列的状态反馈矩阵L，使得在状态反Wc?[FN-1G...FGG]满秩）
馈u(k)?v(k)?Kx(k)下，闭环系统式7.4具有任意给定的n个期望的特征根??????????????n。
证明：略
在实际工程应用中，动态系统式7.1的阶数n不会太高。在式7.6中L是一个r行n列的矩阵，有nr个待定参数，分别令式中等号左右的n阶首一多项式的n个系数对应相等，可得n个线性方程。
当单输入单输出情况时，l是一个n元行向量，此时l是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，L是一个r行n列的矩阵，此时L不是唯一的。
有限拍闭环控制器
当选择闭环系统的n个特征根均为零，即?i=0，i=1，2，…，n，则式7.6成为
det?zI?(F?GL)??zn?0
根据矩阵代数中的Cayley-Hamilton定理，此时有
7.7
Fn?0
7.8
上式表明，由任何扰动引起的状态偏差，系统都会在最多n拍以内使之衰减为零。 关于有限拍控制器，有两点需要注意： ①
n拍意味着过度过程不大于nT，T为采样周期。这一点似乎意味减小采样周期就可
以提高系统的动态速度。但是，减小采样周期同时意味着控制信号的幅值急剧增大。如果控制信号的幅值超出了系统允许的范围，实际上达不到预期的控制效果。因此，谨慎地选取采样周期非常重要。
②
就动态性能而言，离散时间系统中的零特征值（同时采样T周期趋于零）等价于连
续时间系统中的特征值为 “-∞”，二者都是无法实现的。
7.3 状态估值和状态观测器
用一组代数运算器（无动态运算）通过状态反馈实现被控对象的动态特性任意配置，似
乎是一种很完美的控制方法。但是尚有几个非理想的因素需要解决。比如，
? 状态是否可以直接测得？ ? 是否可以实现无差调节？ ? 对扰动的调节能力如何？
工程控制中，状态反馈的实现需要被控对象的n个状态可以实时测得。这一点对于一般的系统大多是不现实的。而在经典控制理论的输出反馈中，系统的输出总是可以检测的。
因此，能否实现通过状态反馈实现任意配置极点，首先需要设法实时获得n个状态的值 7.3.1
全维观测器
假设被控对象式7.1的状态x无法直接测得，一个合理的办法是人为地对x进行重构，如
?，输出图7.3所示。重构系统具有和式7.1完全相同的结构、参数、和输入量，其状态记为x?。 记为y?的初始状态也理论上讲，由于重构的系统和原系统结构和参数均完全相同，如果x和x?取代x进行状态反馈即可。实际上却存在三个问题： ?(k)?x(k)；由x相同，则有x? 一是对象中的扰动会改变其状态；
? 二是原系统可能存在稳定性问题，因而重构系统也会不稳定； ? 三是原系统参数可能并不太准确。
?(k)动态跟踪x(k)，引入输出误差y(k)?y?(k)的反馈 为了保证x?(k?1)?Fx?(k)?Gu(k)?K?y(k)?y?(k)???x ???y(k)?Cx(k)???(k?1)xG7.9
1z?(k)xC?(k)yFK全维观测器-+u(k)x(k+1)G1zx(k)Cy(k)被控对象F 图7.3 全维观测器结构
化简后后得到
?(k?1)??F?KC?x?(k)?Gu(k)?Ky(k)??x ???y(k)?Cx(k)??7.10
现在考虑（定义）估值误差