??(k)?x(k)?x?(k) x将式7.1和式7.10带入上式，得
???(k?1)??F?KC?x?(k) x7.11
7.12
??(k)就会足显然，如果可以选择矩阵K使得矩阵（F-KC）具有稳定且足够小的特征值，x?(k)会足够快地趋于x(k)。 够快地趋于零；就是说，x这就是渐进状态观测器，简称观测器。 定理：观测器的动态特性
若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F, C）是一个能观对（能观性矩阵
TWO???CFTCT...?1NT(FT)C?，则一定存在一个n行m列的输出反馈矩阵K，使得状?满秩）
T态观测器式7.10或式7.12具有任意给定的n个期望的特征根????2????????n。?
即有?
det?zI?(F?KC)???(z??i)?0
i?1n7.13
就是说，总可以通过选取适当的矩阵??使得观测器具有期望的稳定性??无论原来的系统式???是否稳定！?
在上式中K是一个n行m列的矩阵，有nm个待定参数，分别令式中等号左右的n阶首一多项式的n个系数对应相等，可得n个线性方程。
当单输入单输出情况时，K是一个n元行向量，此时K是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，K是一个n行m列的矩阵，此时K不是唯一的。 式7.9的观测器与原系统式7.1具有相同的维数，因而称为全维观测器。 7.3.2
降维观测器（Luenberger观测器）
观测器实际上是控制器的一部分。降低观测器的维数可以简化控制器的设计和实现。 降维观测器的思路是，式7.1中的输出y(k)中已经“直接”包含了部分状态x(k)的信息，这些对应的状态就可直接测得，只需对剩余无法测得的状态进行观测，观测器的维数就可降低，称为降维观测器。
假设输出矩阵C是满秩的，则一定存在一个相似变换
?x1(k)?x(k)????Px(k) x(k)?2?其中，x1(k)和x2(k)分别为n-m维和m维。
7.14
于是，式7.1成为
??????x1(k?1)??F11F12??x1(k)??G1??x2(k?1)?????F???????G?u(k)21F12??x2(k)2? ??y(k)?[0I]??x1(k)?x(k)??x2(k)??2?展开得
??x1(k?1)?F11x1(k)?F12x2(k)?G1u(k)??x2(k?1)?F21x1(k)?F12x2(k)?G2u(k) ?y(k)?x2(k)对应有
??F?P?1FP??F11F12???F???F2112??C?CP?[0I]? ?G?P?1G??B1?????B?2?注意到y(k)?x2(k)，已经直接得到了x2(k)的估值，即
x?2(k)?y(k) 为了对x1(k)设计观测器，令x1(k)子系统的输出为
y1(k)?F21x1(k)?x2(k?1)??F22x2(k)?G2u(k)? ?y(k?1)??F22y(k)?G2u(k)?则待观测的x1(k)子系统成为
??x1(k?1)?F11x1(k)?F12x2(k)?G1u(k)???y1(k)?F 21x1(k)?y(k?1)??F22y(k)?G2u(k)?仿照式7.10对上式中的x1(k)设计n-m维降维观测器，得
??x?1(k?1)?F11x?1(k)?F12x?2(k)?G1u(k)?K1?y1(k)?y?1(k)???y?1(k)?F21x?1(k)???x?2(k)?y(k)将式7.20带入上式，得
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
?1(k?1)??F11?K1F21?x?1(k)??G1?K1G2?u(k)?x????F12?K1F22?y(k)?K1y(k?1) ?????x2(k)?y(k)7.22
将上式用结构图表示如下图7.4。图中有一个增序算子z，将该支路移到减序支路之后（必
?1(k)；再考虑线性变换式须在反馈分支之前，为什么？）二者相互抵消；相应的状态改记为w?(k)；如图7.5所示。 7.14，最后得到x(k)的状态估值xF12?K1F22G1?K1G2?1(k?1)x1z?1(k)xK1z降维观测器F12?K1F22u(k)x(k+1)G1zx(k)C?2(k)y(k)?x被控对象F
图7.4 降维观测器式7.23的结构
F12?K1F22G1?K1G2?1(k?1)w1z?1(k)w?1(k)xK1降维观测器F12?K1F22P?(k)xx(k+1)u(k)G1zx(k)C?2(k)y(k)?x被控对象F
图7.5 降维观测器式7.23的等效简化
再对上图进行简化，将K1输入支路移到反馈分支之后，最后得降维状态观测器动态方程如下式，亦如下图7.6所示。
?1(k?1)??F11?K1F21?w?1(k)??G1?K1G2?u(k)?w????F12?K1F22??F11?K1F21?K1?y(k)??? ?x?1(k)?w?1(k)?K1y(k)??1(k)??x????x(k)?P?y(k)???7.23
?(k)后，得到x(k)的状态估值x即可实现7.2节中由式7.2定义的状态反馈以实现极点配置，
示于图7.8。
F11?K1F21?1(k?1)w1zG1?K1G2?1(k)w?2(k)xK1P?F降维观测器11?K1F21?K1?(k)x?F12?K1F22x(k+1)u(k)G1zx(k)C?2(k)y(k)?x被控对象F 图7.6 降维观测器
关于降维观测器有如下定理： 定理：降维观测器的动态特性
若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F, C）是一个能观对，并且C是满秩的，则一定存在一个相似变换阵P，经式7.14变换得到式7.15或7.16。对此一定可以构成如式7.23所示的n-m维降维观测器，其n-m个观测器特征值可以通过选择(n-m)m维矩阵L1进行任意配置，即任给n-m个特征值??????????????n-m, 一定存在L1使得?
det??zI?(F11?L1F21)????(z??i)?0
i?1n?m7.24
证明：略
当C非满秩时，设其秩为m1 在式7.24中L1是一个(n-m)m的矩阵，有(n-m)m个待定参数，一般其解不是唯一的。 构成降维观测器的方法很多，并不限于上述方法。 有限拍观测器 无论对式7.11的全维观测器或式7.23的降维观测器，当选择其特征根均为零时，即得其有限拍观测器。 7.4 利用状态估值构成状态反馈以配置极点 通过全维或降维观测器得到状态估值后，就可以利用状态估值构成状态反馈以配置极点。 如图7.7和7.8所示。 L?(k?1)xG1z?(k)xC?(k)yFK全维观测器-+u(k)v(k)x(k+1)G1zx(k)Cy(k)被控对象F 图7.7 利用全维观测器构成状态反馈