解:由limx?0f(x)f(x)?A和函数f(x)连续知，f(0)?limf(x)?limxlim?0
x?0x?0x?0xx因g(x)??10f(xt)dt，故g(0)??10f(0)dt?f(0)?0，
因此，当x?0时，g(x)?1xf(u)du，故 x?0?limg(x)?limx?0x?0x0f(u)dux?limx?0f(x)?f(0)?0 1当x?0时，
g?(x)??1x2?x0f(u)du?f(x)， xx1xf(t)dtf(t)dt?0?f(x)Ag(x)?g(0)0x?lim? g?(0)?lim?lim?lim2x?0x?0x?0x?02x2xxx1xf(x)f(x)1xAAlimg?(x)?lim[?2?f(u)du?]?lim?lim2?f(u)du?A??
0x?0x?0x?0x?0xx0xx22这表明g?(x)在x?0处连续.
四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）xeL??Lsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；
L（2）xesinydy?ye?sinydx??2.
证:因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1）xeL52?siny????dy?ye?sinxdx????(xesiny)?(?ye?sinx)?dxdy
?x?y?D????(esiny?e?sinx)dxdy
D?sinysinxxedy?yedx ?L????????(xe?siny)?(?yesinx)?dxdy
?x?y?D????(e?siny?esinx)dxdy
D而D关于x和y是对称的，即知
siny?sinx?sinysinx(e?e)dxdy?(e?e)dxdy ????DD因此
siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx ??LL（2）因
t2t4e?e?2(1????)?2(1?t2)
2!4!t?t故
esinx?e?sinx?2?sin2x?2?由
1?cos2x5?cos2x? 22siny?sinysiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy?(e?e)dxdy ?????LDD知
siny?siny?xedy?yedx?L11siny?sinx(e?e)dxdy?(e?siny?esinx)dxdy ????2D2D?11siny?siny(e?e)dxdy?(e?sinx?esinx)dxdy???(e?sinx?esinx)dxdy ????2D2DD??00???(e?sinx?esinx)dx???5?cos2x5dx??2 22即xesinydy?ye?sinydx??2
?L52五、（10分）已知y1?xe?e，y2?xe?e，y3?xex?e2x?e?x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解设y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是二阶常系数线性非齐次微分方程
x2xx?xy???by??cy?f(x)
的三个解，则y2?y1?e?x?e2x和y3?y1?e?x都是二阶常系数线性齐次微分方程
y???by??cy?0
的解，因此y???by??cy?0的特征多项式是(??2)(??1)?0，而y???by??cy?0的特征多项式是
?2?b??c?0
???y1??2y1?f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y???y??2y?0，由y1??ex?xex?2e2x，y1???2ex?xex?4e2x y1???y1??2y1?xex?2ex?4e2x?(xex?ex?2e2x)?2(xex?e2x) 知，f(x)?y1?(1?2x)ex
二阶常系数线性非齐次微分方程为
y???y??2y?ex?2xex
2六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线
与x轴及直线x?1所围图形的面积为转体的体积最小.
1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋3解因抛物线y?ax2?bx?2lnc过原点，故c?1，于是
112b?ab?a??(ax?bx)dt??x3?x2??? 302?032?3即
1b?2(1?a) 311而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
V(a)???(ax2?bx)2dt???(ax2?002142(1?a)x)2dt 3114432??a?xdt??a(1?a)?xdt??(1?a)?x2dt
00039114??a2??a(1?a)??(1?a)2 5327即
114V(a)??a2??a(1?a)??(1?a)2
5327令
V?(a)?得
218?a??(1?2a)??(1?a)?0， 532754a?45?90a?40?40a?0
即
4a?5?0
因此
53a??,b?,c?1.
42
?(x)?un(x)?xn?1ex(n?1,2,?), 且un(1)?七、（15分）已知un(x)满足un级数
e, 求函数项n?un?1?n(x)之和.
解
?(x)?un(x)?xn?1ex， un即
y??y?xn?1ex
由一阶线性非齐次微分方程公式知
y?ex(C??xn?1dx)
即
xny?e(C?)
nx因此
xnun(x)?e(C?)
ne1由?un(1)?e(C?)知，C?0， nnx于是
xnexun(x)?
n下面求级数的和：
令
xnexS(x)??un(x)??
nn?1n?1??则
?xnexexn?1xS?(x)??(xe?)?S(x)??xe?S(x)?
n1?xn?1n?1?n?1x即
exS?(x)?S(x)?
1?x由一阶线性非齐次微分方程公式知
S(x)?ex(C??1dx) 1?x令x?0，得0?S(0)?C，因此级数
?un?1?n(x)的和
S(x)??exln(1?x)
八、（10分）求x?1时, 与
2??xn等价的无穷大量.
n?0
2?
2
tt解令f(t)?x，则因当0?x?1，t?(0,??)时，f?(t)?2txlnx?0，故
f(t)?xt?e??02?t2ln1x在(0,??)上严格单调减。因此
???f(t)dt???n?0?n?1nf(t)dt??f(n)?f(0)???n?0n?1nn?1f(t)dt?1????0f(t)dt
即
?又
???0f(t)dt??f(n)?1??n?0????0f(t)dt，
?f(n)??xn，
n?0n?0211?limx?limx?1 x?11?xx?1?1ln???0f(t)dt??xdt??e00??t2???t2ln1xdt?1ln1?x??0e?tdt?21ln?12x，
所以，当x?1时, 与
??x等价的无穷大量是
n?0
?
n2
1?。
21?x2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
一、（25分，每小题5分） （1）设xn?(1?a)(1?a2)?(1?a2),其中|a|?1,求limxn.
n??n（2）求lime?x?1?x????1??。 x?x2（3）设s?0，求I???0e?sxxndx(n?1,2,?)。
22?2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2。
?x?y?r?（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3??与直线l2:的距离。 4?2?1?z?022n22n解：（1）xn?(1?a)(1?a)?(1?a)=xn?(1?a)(1?a)(1?a)?(1?a)/(1?a)
2=(1?a)(1?a)?(1?a)/(1?a)=?=(1?a)/(1?a)
222nn?1?limxn?lim(1?a2)/(1?a)?1/(1?a)
n??n??n?111lne?x(1?)xx2ln(1?)?x1??x?xx(2) lime?1???lime ?limex??x??x???x?2x2