令x=1/t,则
(ln(1?t)?t)原式=limet?0?t2?limet?0n1/(1?t)?12t?limet?0?12(1?t)?e
?121?n?sx1n?sx???sxnIn??exdx?(?)?xde?(?)[xe|0??edx]?00s0s（3）
n??sxn?1nn(n?1)n!n!exdx?In?1?In?2???nI0?n?1s?0ss2ss?sx二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且
f??(x)?0,limf?(x)???0,limf?(x)???0,且存在一点x0，使得f(x0)?0。
x???x???证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实根。
解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开：
f''(?)2f(x)?f(0)?f(0)x?x
2'因为二阶倒数大于0，所以
x???limf(x)???，limf(x)???
x???证明完成。
?x?2t?t2三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?(t??1)所确定，其中?(t)具有二阶
?y??(t)t3?u导数，曲线y??(t)与y??edu?在t?1出相切，求函数?(t)。
12e22t2d2y?3?u2解：（这儿少了一个条件2?）由y??(t)与y??edu?在t?1出相切得
12edx?(1)?32'，?(1)? 2eedydy/dt?'(t)?? dxdx/dt2?2td2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt?''(t)(2?2t)?2?'(t)???=。。。 23dxdxdx/dt(2?2t)上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设an?0,Sn??a,证明：
kk?1n（1）当??1时，级数
an收敛； ??n?1Snan发散。 ??Sn?1n????（2）当??1且sn??(n??)时，级数解：
（1）an>0, sn单调递增 当
?an收敛时，?n?1??anananan，而收敛，所以收敛； ?sn?s1?s1?sn?当
?an?1n发散时，limsn??
n??sndxsndxansn?sn?1 ???????sn?1s?sn?1x?snsn?nsndxana1?sndxa1????? 所以，???????sn?1x?s1xsss1n?1nn?21?而
?sns1sn1???s11??a1s11??dxa1???lim????k，收敛于k。 ?n??xs11??s1??1所以，
an
收敛。 ??sn?1n
n???
（2）?limsn??
所以
?an?1?n发散，所以存在k1，使得
k1?an?2k1n?a1
ank1anan?1于是，?????2?
sk122sn2snk1依此类推，可得存在1?k1?k2?...
kNa1an1使得???成立，所以?n ?N??s2s21kinnki?1当n??时，N??，所以
an
发散 ??n?1sn
?
五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中?2??2??2?1)的直线，均匀椭球
x2y2z2???1，其中（0?c?b?a,密度为1）绕l旋转。 a2b2c2（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值。 解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
d2?(1??2)x2?(1??2)y2?(1??2)z2?2??xy?2??yz?2??zx
????xydV????yzdV????zxdV?0
??????zdV???2c?czdzx22??1?2a2b2cy2??z224dxdy???ab(1?2)zdz??abc3
?cc15z2c由轮换对称性，
2x???dV??44?a3bc,???y2dV??ab3c 1515?444?a3bc?(1??2)?ab3c?(1??2)?abc3 151515I????d2dV?(1??2)?4?abc[(1??2)a2?(1??2)b2?(1??2)c2] 15（2）?a?b?c
4?当??1时，Imax??abc(a2?b2)
154?abc(b2?c2) 当??1时，Imin?15?六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲
线积分
2xydx??(x)dy的值为常数。 42??x?yc22（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1,证明（2）求函数?(x)；
2xydx??(x)dy?0; 42??x?yc2xydx??(x)dy。 42??x?yc（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求解：
（1） L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段L1，L2，再从A，B作一曲线L3，
使之包围原点。
则有
2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy ?????424242???x?yx?yx?yLL1?L3L??L23（2） 令P?2xy?(x) ,Q?4242x?yx?y由（1）知
?Q?P??0，代入可得 ?x?y?'(x)(x4?y2)??(x)4x3?2x5?2xy2
上式将两边看做y的多项式，整理得
y2?'(x)??'(x)x4??(x)4x3?y2(?2x)?2x5
由此可得
?'(x)??2x
?'(x)x4??(x)4x3?2x5
解得：?(x)??x
（3） 取L为x?y??，方向为顺时针
'2424??Q?P??0 ?x?y2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy??????424242???x?yx?yx?y''?cc?LL?1
?4L'???2xydx?xdy??22011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求lim??sinx??x?0x??11?cosx11?cosx；
解：（用两个重要极限）：
?sinx?lim??x?0x???limex?0?sinx?x??lim?1??x?0x??sinx?xx?013x2limxsinx?x?sinx?xx?1?cosx?sinx?xx?1?cosx??e?ecosx?1x?032x2lim?e1?x2lim2x?032x2
?13?e
11??1??...?（2）.求lim??； n??n?1n?2n?n??111??...?解：(用欧拉公式）令xn?
n?1n?2n?n11由欧拉公式得1?????lnn=C+o（1），2n
1111则1?????????ln2n=C+o（1），2nn?12n其中，o?1?表示n??时的无穷小量，
?limx?ln2. ?两式相减，得：xn-ln2?o（1）,n??n
2t?x?ln1?e??d2y?（3）已知?，求。
2tdx??y?t?arctaneet1?2tt2tdx2e2tdyetdye?e?11?e?,?1????解： 2t2t2t2t2edt1?edt1?edx2e1?e2tdyd?dy?1e?21?e?2??????2t?2tdxdt?dx?dx2e2edt2t2t2tt1?ee????2?4e4t