又因为CI//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。 因此，△ACI≌△ACJ，从而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。
已知AB=AD，BC=DC，AC与BD交于O，过O的任意两条直线EF和GH与四边形ABCD的四边交于E、F、G、H。连结GF、EH，分别交BD于M、N。求证：OM=ON。（5届CMO） 证明：作△EOH
△E’OH‘，则只需证E’、M、H‘共线，即
E’H‘、BO、GF三线共点。
记∠BOG=α，∠GOE’=β。连结E‘F交BO于K。只需证
=1（Ceva逆定理）。
===1
注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。
对应于99联赛2：∠E’OB=∠FOB，且E‘H’、GF、BO三线共点。求证：∠GOB=∠H‘OB。 事实上，上述条件是充要条件，且M在OB延长线上时结论仍然成立。 证明方法为：同一法。
蝴蝶定理：P是⊙O的
弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结CF交AB于N。
连结DE交AB于M，求证：MP=NP。 【分析】设GH为FP∈GH，∵PF
PF‘，PA
PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
F’F，
过P的直径，显然‘∈⊙O。又∴PF’=PF。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、
ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用
二次曲线系知识）
（二）三角形中的几个特殊点：
1、三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。
点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外 心 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
2、费马点定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
判定 （1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
性质 （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。 （特殊三角形中）
(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1、ACB1、BCA1，然后连接AA1、BB1、CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。 (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求。 (4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合。 实践探究 （一）在特殊三角形中费马点的性质
1、当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合，费马点到各边的距离相等。 2、在等腰三角形ABC中，当点O为费马点时，点O到三顶点的距离之和最小。且∠AOB=∠BOC=∠COA=120° 3、三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形ABC1、ACB1、BCA1，然后连接AA1、BB1、CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。 4、若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求费马点。 5、当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合
6、等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。
7、等腰三角形当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。 8、直角三角形.，等边三角形，等腰三角形中∠APB,∠APC∠BPC都为120°
3、欧拉线：
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 欧拉线的证法1：
作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA‖CH，DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1
∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
欧拉线的证法2：
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心
。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3， 向量OG*3=向量OH 所以O、G、H三点共线
（三）几何不等式： （1）托勒密定理的推广：
在凸四边形ABCD中，一定有：AB?CD?AD?BC?AC?BD，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.
（2）（嵌入不等式） 设x,y,z?R,A?B?C?(2k?1)?,k?Z， 求证：x2?y2?z2?2yzcosA?2zxcosB?2xycosC
等号成立的充要条件是：x?ycosC?zcosB及ysinC?zsinB. 证明：x2?y2?z2?2yzcosA?2zxcosB?2xycosC
?x2?2(zcosB?ycosC)x?y2?z2?2yzcos(B?C)
?x2?2(zcosB?ycosC)x?(zcosB?ycosC)2?(zsinB?ysinC)2 ?(x?zcosB?ycosC)2?(zsinB?ysinC)2?0 当且仅当x?ycosC?zcosB且ysinC?zsinB时取等号
（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos—Mordell）不等式：
在?ABC内部任取点P，dA,dB,dC分别表示由点P到顶点A,B,C之间的距离，da,db,dc分别表示由点P到边BC,CA,AB的距离， 则dA?dB?dC?2(da?db?dc) （4）外森比克不等式：
设?ABC的边长和面积分别为a,b,c和S，则a2?b2?c2?43S，当且仅当?ABC为正三角形时等号成立.
5．费尔马(Fermat)问题：在?ABC中，使PA?PB?PC为最小的平面上的P点称为费尔马点.当
?BAC?120?时，A点为费尔马点；当?ABC中任一内角都小于120?时，则与三边张角为120?的P点为费尔马点.
例题：已知?ABC，设I是它的内心，?A,?B,?C的内角平分线分别交其对边于A/,B/,C/，求证：
1AI?BI?CI8??. ///4AA?BB?CC27IA/A/BA/Ca???证明：令BC?a,CA?b,AB?c，由角平分线定理，易得 IAcbb?cIAb?c1b?cb?cAA/a?b?c????1 ?∴ ∴ 易得
2b?c?b?ca?b?cAA/a?b?cIAb?c∴
IAb?c1IBa?c1ICa?b1??(,1)??(,1)??(,1) 同理 ，
222AA/a?b?cBB/a?b?cCC/a?b?cIA/IB/IC/???2 处理（1） 则
AABB/CC/令
IA1IB1IC111??t,??t,??tt,t,t?(,1),t?t?t?，则 123123123///22222AABBCC311?1?(?t1)?(?t2)?(?t3)??11122??8 ∴(?t1)(?t2)(?t3)??2222327??????1111111∴(?t1)(?t2)(?t3)??(t1?t2?t3)?(t1t2?t2t3?t3t1)?t1t2t3?
22284241AI?BI?CI8?∴?
4AA/?BB/?CC/27IAIBIC1?x,?y,?zx,y,z?(,1) x?y?z?2处理（2）令，则，且///2AABBCCx?y?z381113139)?∴xyz?(，xyz?x(2?x?z)z?(2??z)z?(?z)z?[?(z?)2?] 327222224161139又?z?1（[?(z?)2?]在区间端点取到最小值） 224161391391∴xyz?[?(z?)2?]?[?(1?)2?]?
241624164处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换 令a?m?n,b?n?k,c?k?m
AI?BI?CIm?n?2km?2n?k2m?n?k??? ///2(m?n?k)2(m?n?k)2(m?n?k)AA?BB?CC(m?n?k)3?(m?n?k)3?(mn?mk?nk)(m?n?k)?mnk1?? 348(m?n?k)说明：
证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换： （由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）
a?x?y,b?y?z,c?z?x,(x,y,z?0)，反之，若三个正数a,b,c可以表示为上述形式，则a,b,c一