32. 若某能极高于费米能级0.1eV，温度从10K变到300K，问电子占有该能极的概率改
变多少？
3. 试计算T?0K时自由电子气体中一个电子能量的相对涨落。
4. 设金属中的传导电子可以近似地看成理想费米气体。再设金属宏观静止，其费米能级为
?F。试在绝对零度下
(1) 计算
vx和
vx2（
vx为电子速度的x分量）；
(2) 证明总能量的平均值E是广延量。当总体积V固定时，E与总粒子数N并不成线性关系，为什么？
5. 相对率性电子气体，其能量动量关系为?2?cp?mc（其中c为光速，m为电子质
2224量），试在T?0K时计算电子数密度，，用费米能级?F表示。
6. 某种样品中的电子服从F?D分布，其态密度有如下特征：??0时，g(?)?0；??0时，
g(?)?g0。设电子的总数为N。
?E(1) 试求T?0K时的化学势0和总能量0；
(2) 试证明系统的非简并条件为
T??N/g0k； 。
(3) 试证明当系统强烈简并（T很低）时
cv?T7. 考虑由N个无相互作用的电子组成的电子气体，假定电子是非相对论性的。试求出T?0K时，与下列情形相应的费米能量：
(1) 粒子只能沿长度为L的线段运动；
(2) 粒子只能在一个面积为A的二维平面上运动。
8. 试导出二维空间黑体辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。 9. 宇宙中充满着T?3K的黑体辐射光子，这可以看作是大爆炸的痕迹。 (1) 试求出光子数密度依赖于温度T的解析表达式，可保留一个数值因子。 (2) 试近似计算T?3K时光子的数密度。
10. 如果声子服从F?D统计而非B?E统计，则固体热容量的德拜理论发生什么变化？在这样的假设下，试求远低于德拜温度和远高于德拜温度时热容与温度的关系（常数系数不必算出）。
11. 试证明：对玻色气体，pV?NkT?0；对费米气体pV?NkT?0。
第八章 系综统计法
§8.1基本概念
1. 何为?空间？?空间与?空间有什么区别和联系？ 2. 何谓统计系综？引入统计系综的意义何在？
3. 请读者举出自已所熟悉的例子，说明系综平均值等于时间平均值。
§8.2微正则系综
1. 试证明：当N很大时，系统的能量在E~E??E之间的状态数近似等于系统的能量小于、等于E状态数。
2. 考虑N个自旋为1/2，磁矩为?的定域粒子，粒子间相互作用很弱，将此系统置于磁场
H中。
(1) 求系统总能量为E时的微观态数?(E)； (2) 求E与温度T的关系； (3) 在什么情况下出现负温度？
(4) 求系统的总磁矩M与E关系（用H和T将M表出）。 3. 处于室温下的任一宏观系统，当其能量增加10?3eV时，系统所有可能的微观态数增加
?5的百分数是多少？若系统吸收一个可见光（波长为5?10多少？
cm）的光子，系统的状态数增加
§8.3正则系综
1. 由N个单原分子组成的理想气体系统处于温度为T的平衡态，试求系统能量的最可几值。结果说明什么？ 2. 对正则系统，试证明：
dln?(E)?1kT；
s?klnZ?UT?kln?(E)(1)
dE(2) 当粒子数N很大时，其中E?U。
3. 由两个相互独立的粒子组成的系统，每个粒子可处于能量分别为0,?和2?的任一状态中，系统与大热源平衡。试就下列诸情况写出系统的配分函数。 (1) 服从M?B统计，粒子可分辨； (2) 服从M?B统计，粒子不可分辨； (3) 服从F?D统计； (4) 服从B?E统计。
4. 一固体包含有N个自旋为1的非相互作用的核，每个核均可处在由量子数m?0，?1的三个态中的任一个态。由于固体内电荷与内部场的相互作用，一个核在m?1态或m??1态具有相同的能量?(??0)，而在m?0态时其能量为零。试求系统的熵及?/kT??1的极限情况下系统的热容量。
5. 一高为h、底面积为A的柱形容器中，装有N个质量为m的单原子分子组成的理想气体，并处于重力场中，试由正则分布求系统的热容量。
6. 今有CO2和NO两种分子组成的混合理想气体处于平衡态，试用正则系综证明道尔顿分压定律 pV?(N1?N2)kT
N其中p为混合理想气体的压强，N1和2分别为两种分子的数目。
7. 设粒子的能量关系为??ap。系统由N个这样的无相互作用的粒子组成，试求系统的体积、压强和能量之间的关系。
u(r)??u08. 有某种气体，其两个分子之间的相互作用为 u(r)??(当r?a）； （当
3a?r?b）；u(r)?0（当r?b）。试计算第二维里系数。
9. 很多脂肪酸分子分布于水面上，性质很象二维气体。试证明其状态方程可表为
B??N2pA?NkT[1?B/A]，其中
?(e?u(r)/kT?1)2?rdr，A为液面的面积，u(r)为两
分子间的相互作用势能。 §8.4巨正则系综
1. 对于理想费米气体和玻色气体，试证明巨正则分布可以表为
J??kT?s?N,S?e(J??N?ES)/kT中的巨热力学势
ln[1?e(???s)/kT] ?i式中上行对应于费米子，下行对应于玻色子。对所有态求和。
和?分别为粒子的能量和化学势，
?s为
2. 试从巨正则分布出发，证明理想费米气体的熵可以表为
s??k?[nilnni?(1?ni)ln(1?ni)]i
式中
ni是量子态i中的平均粒子数。
3. 设有一单原子理想气体与一固体吸附面接触而达到平衡。被吸附的分子能够在吸附面上
p2自由地作二维运动，其能量为2m??0???0，其中p为二维动量，0为束缚能（0为常数）。
假定经典极限条件成立，试求吸附面上单位面积被吸附分子的平均数与气体压强的关系。
第九章 涨落理论
§9.1围绕平均值的涨落
1. 计算围绕平均值的涨落问题时，大致要经过哪几个步骤？如何选取独立变数？
(?p)2. 试用理想气体证明，强度量的均方涨落（如(?T)和）与粒子数N成反比，而广(?S)延量的均方涨落（如(?E)和）与粒子数N成正比，但二者的相对涨落均与
2222N成
反比。
(?G)2N222ST??V???p??2VST??V??kT?????????V2Cp??T?pCp??T?p??V?S??2*3. 试证明：
?kS2T??Cp??2。
*4 试从S(x)?klnW(x)出发导出高斯分布
W(x)dx?(2?x)2?1/2exp(?x22dx)2x
§9.2布朗运动理论
1. 试说明如何分别由(9.2.6)式和(9.2.20)式测得玻耳兹曼常数k和阿伏伽德罗常数NA。 2. 试说明如何由(9.2.19)式测得电子电荷e. §*9.3 涨落的相关性
1. 什么叫空间相关函数、时间相关函数? 其各自的性质如何? 2. 试求粒子数密度的空间相关函数和布朗粒子速度的时间相关函数。 4. 试说明什么叫涨落耗散定理。