3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课堂探究
探究一 利用向量方法判定线、面的位置关系
解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．
【典型例题1】 (1)设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u，v分别是两个不重合的平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系： 1??①u＝(1，－1,2)，v＝?3，2，－?； 2??②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是α的法向量，a是直线l的方向向量，判断α，l的位置关系： ①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解：(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， 1
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
3
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0， ∴a⊥b，∴l1⊥l2.
1??(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝?3，2，－?， 2??∴u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)， 3
∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.
5(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝0，∴u⊥a，∴l∥α或l?α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
1
1
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
4探究二 平面法向量的求法
求平面的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可．
【典型例题2】 已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 思路分析：设平面ABC的一个法向量为n，则n垂直于平面ABC内的任意向量，不妨取
→→AB，BC，然后将向量垂直转化为数量积为0，求得n.
解：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由题意得AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)． 因为n⊥AB，n⊥BC，
→→→→→??n·AB＝－x＋y＝0，
所以?
→??n·BC＝x－z＝0.
令x＝1，得y＝z＝1，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)． 归纳求法向量的步骤为： (1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
??n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，
(3)建立方程组?
?n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0；?
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的法向量．
探究三 利用向量法证明空间中的平行关系
用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：
(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理． (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以利用直线方向向量与平面法向量垂直来证明线面平行，用两平面的法向量平行来证明两平面平行．
2
【典型例题3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
思路分析：证明线面平行有三种方法：一是线面平行的判定定理，二是直线的方向向量与平面的法向量垂直，三是共面向量定理．
→→→1→1→
证法一：∵MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C
22
1→→1→
＝(D1A1－D1D)＝DA1， 22
→→
∴MN∥DA1，∴MN∥平面A1BD.
证法二：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直1??1??角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M?0，1，?，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，2??2??1?→?1
B(1,1,0)，于是MN＝?，0，?，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
?22?
??x＋z＝0，→则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?
?x＋y＝0.?
→
取x＝1，得y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
1?→?1
又MN·n＝?，0，?·(1，－1，－1)＝0，
2??2∴MN⊥n， ∴MN∥平面A1BD.
3
→→→→1→1→
证法三：∵MN＝C1N－C1M＝D1A1－D1D
22
1→→1→→
＝(DB＋BA)－(D1A1＋A1D) 221→1→1→1→＝DB＋BA－D1A1－A1D 22221→1→1→→＝DB＋DA1＋(BA－DA) 222
1→1→1→1→→＝DB＋DA1＋BD＝DA1＋0·DB. 2222
→→→即MN可以用DA1与DB线性表示， →→→∴MN与DA1，DB是共面向量，
∴MN∥平面A1BD，即MN∥平面A1BD. 探究四 向量法证明垂直关系
证两直线垂直可转化为证两直线的方向向量垂直．
(1)把两直线的方向向量用相同的几个向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0即可，这是用向量证明线线垂直的基本方法．
(2)可建立适当的坐标系，并正确求出各点及相关向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.
向量法证明线面垂直，则是通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明．而证两平面垂直则是通过证明两平面的法向量垂直来完成．
【典型例题4】 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
→
求证：(1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面ABE.
思路分析：(1)建立空间直角坐标系→确定AE，CD的坐标→计算AE·CD→AE⊥CD； (2)求平面ABE的法向量n→判断满足PD＝kn(k∈R)→PD⊥平面ABE或确定PD，AB，AE的
4
→→→→→→→→坐标→计算→PD·→AB，→PD·→?AE→?→?PD⊥→AB??
??→PD⊥→?→PD⊥平面ABE.
AE??
证明：(1)∵AB，AD，AP两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)． ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为正三角形．
∴C??1
?2，32，0???131??，E??4，4，2??
. 设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0， 即y＝23?23?3，则D??0，3，0??，
∴→CD＝??1
3??－2，6，0??.
又→AE＝??1
31??4，4，2??
，
∴→AE·→CD＝－11332×4＋6×4＝0，
∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.
(2)证法一：∵→AB＝(1,0,0)，→AE＝??1
?4，34，1?2??，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
?x＝0，则???1?4
x＋34y＋1
2z＝0，
令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)． ∵→PD＝???0，233，－1???，显然→PD＝33n.
∴PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
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