证法二：∵P(0,0,1)，
?→?23
∴PD＝?0，，－1?.
3??
又AE·PD＝
→→3231×＋×(－1)＝0， 432
∴PD⊥AE，即PD⊥AE.
又∵AB＝(1,0,0)，∴PD·AB＝0， ∴PD⊥AB.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
【典型例题5】 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，
→→→→→E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
→
思路分析：本题首先可证出CD为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直．
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，则B(0,0,0)，D(0，3a,0)，A(0,0，
a)，C?
33a??3a??3??3
a，a，0?，E?a，a，?，F?0，a，?.
242??22??2??4
∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC. 又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面ABC.
33?→?
∴CD＝?－a，a，0?为平面ABC的一个法向量．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，
2?2?
y，z)，
则由n·EF＝0，得x＝y.
由n·BF＝0得z＝－3y，取y＝1， 得n＝(1,1，－3)．
→→
∵n·CD＝0，∴n⊥CD，∴平面BEF⊥平面ABC.
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→→探究五 三垂线定理及其逆定理
1．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题： (1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”．
(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反．
2．三垂线定理及逆定理应用中的三个环节
用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．
【典型例题6】 如图，空间四边形ABCD中，点A在平面BCD内的射影 O1是△BCD的垂心，求证：B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心．
思路分析：应用三垂线定理一定要分清斜线与射影，并注意第三条垂线要与射影在同一平面内．
证明：连接DO1，BO1，AO2，CO2. ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴BC⊥AD(三垂线定理)．
∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)． 同理，AO2⊥CD. ∴O2是△ACD的垂心．
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