第九章 电 磁 感 应
习题解答
1．线圈在长直载流导线产生的磁场中运动，在下列图示的哪些情况下，线 圈内将产生感应电流？并请标出其方向。
(a)线圈在磁场中平动（如图9-1）
(b)线圈在磁场中绕oo′轴转动（如图9-2） 2．长20cm的铜棒水平放置（如图9-3），绕通过其中点的竖直轴旋转，转速为每秒5圈。
竖直方向上有一均匀磁场，磁感应强度为1.0?10?2T。求棒的一端A和中点间的感应电势差及棒的两端A、B间的感应电势差。
解：已知L=20cm，转速n=5, B?1.0?10?2T 求?AO和?ABd??2?nxBdx (0?x?0.1L )2所以：?AO?0.12?220.1?32?nxBdx??nxB?3.14?5?10?x|?1.57?10(V) 0?0而?AB?
?0.1?2?nxBdx??nx2B?3.14?5?10?2?x2|0.1?0.1?0(V)
3．如图9-4所示，铜盘半径R?50cm，在方向为垂直盘面的均匀磁场中，沿逆时针方向绕盘中心转动，转速为n?100? rads。设磁感应强度B?1.0?10?2T。求铜盘中心和边缘之间的感应电势差。
解： 半径方向上长度元产生的电势差为d??B2?ndx 故??2?nB?xdx?0.393
00.3
4．一长直导线AB，通有电流I?5A，导线右侧有一矩形线圈cdef（如图9-5）。图中
a?6cm，b?15cm，l?20cm。线圈共有N?1000匝，以速度v?3ms向右运动（速度方向与导线AB垂直）。求：(a)当线圈运动到如图所示位置时的感应电动势；(b)若线圈在如图所示的位置不动，导线AB中通以交流电I?5sin100?t A时，线圈中的感应电动势。
?I直流电在长直导线中形成的磁场B?0 r为离导线的距离
2?r解：(a)导线cd与导线ef不切割 即v?B与dl夹角为90度，故产生的电动势为零，对于cf有：
41
B??0I?I ?a?0lv 2?a2?a对于de段 有： ?I?IB?0 ?a??0lv
2?b2?b所以总电势
?0I114??10?7?5?0.2?311?1?N?a?N?b?Nlv(?)?1000?(?)?6?10?3V(b)由(a)
2?ab2?0.060.15知 B??0I5?0sin100?t r仍为离导线的距离 ?2?r2?rb由此可得单线框的磁通量????0I5?lsin100?tbldr??0ln 2?r2?aa5?lbdd?b??N0ln(sin100?t)??250N?0llncos100?t dt2?adta0.15代入数值得 ?2??250?1000?4??10?7?0.2lncos100?t??5.75?10?2(V)
0.6
?2??N5．设某线圈的自感系数L?0.5H，具有电阻R?5?，在下列情况下，求线圈两端的电压。
dI?0； dtdI(b)I?1A,?2As；
dtdI(c)I?0,?0；
dtdI(d)I?0,?2As；
dtdI（e）I?1A,??2As。
dtdI解：Uab?IR?L
dt(a)I?1A,
(a)Uab?5V (b)Uab?6V (c) Uab?0 (d)Uab?1V （e）Uab?4V
42
6．螺线管长为15cm，共绕120匝，截面积为20cm2，内无铁芯。当电流在0.1s内自5A减少为零，求螺线管两端的自感电动势。
解：对于空心螺线管，L??0n2V 其中n?所以 L?4??10?7?(N V为螺线管体积 l120244 )?20?10??0.15?2.41?10?H0.15dI0?5相应的感应电动势：???L??2.41?10?4??1.205?10?2V
dt0.1?0
7．一线圈的自感系数为5?10?2H，接上电源后，通过电流I?15sin100?t A。问线圈中感应电动势的最大值是多少？
dI解：?L??L??L15?100?cos100?t
dt则?Lm?L15?100??236V
8．如图9-6所示，线圈自感系数L?3.0H，电阻R?6.0?，电源电动势E?12V，线圈电阻和电源内阻均略去不计。求(a)电路刚接通时，电流增长率和自感电动势EL；(b)当电流I?1.0A时的电流增长率和A、B两端的电势差；(c)电路接通后经0.20s时电流的瞬时值；(d)当电流达到恒定值时，线圈中储有的磁场能量。
解：在RL回路中，有IR??(1?e所以
R?tL)
dI??IR ?dtLdI12?0?6.0dI(a) t=0s,I=0A时 ??4A/s ?L??L??3.0?4??12V
dt3.0dtdI12?1.0?6.0dI(b) I=1.0A 时 ??2A/s Uab?IR?L?1?6?3??2V12dt3.0dt(c) 由IR??(1?eR?tL6.0??0.2123.0) 可得I??(1?e)?0.659A
6.0(d) 电流稳恒后，自感现象消失 所以电流I?磁场能量 W?
?R?12?2A 6.0121LI??3.0?22?6J 229．一个线圈的电阻和电感分别为R?10?和L?58mH。当把电路接通加上电压后，经过多长时间，线圈中的电流将等于恒定电流值的一半？
解：I?I0(1?e
R?tL)
43
R?t11L当I?I0时，eL?，即t?ln2?4.0?10?3s
22R
10．电子感应加速器中的磁场在直径为0.5m的圆柱形区域内是均匀的。设这一磁场随时间的变化率为1.0?10?2 T/s。计算距离磁场中心为0.10m、0.50m、1.0m处各点的涡旋电场强度。
解：、用高斯定律可以求得介质中的电场强度 E介?Q 其中l为电缆长度 r为到轴心的距离 2?r?lbb所以电缆电势 U=?E介dr??aaQQbdr?ln 2?rl?2?l?aQ2?l? ?Ulnba112?l?电场能量 W电?CU2?(IR)2
22lnba?I介质中磁感应强度为：B?
2?r电缆间的电容为：C?b所以磁通量 ???BdS?a?lIbln 2?a自感系数 L???lb?ln I2?a12?lI2bln 磁场能量W磁?LI?24?aln令W磁?W电并简化得：R?
ba2?? ?11. 一电子在电子感应加速器中沿半径为1.0m的轨道上作圆周运动。如果它每转一周动能增加700ev，试计算电子轨道内磁通量及磁感应强度的平均变化率。
证明：设导线半径为R，导线内部某点到轴心距离为r，则r处的磁感应强度为
?0I'?0IB2B??r，?m?
2?2?r2?R2 44
Wm???mdV??VR01B22?rdr?2?02?0?R0?0I2?0I2(r)2?rdr? 2?R216?12．一环状铁芯，绕有线圈1000匝，环的平均半径r?8cm，环的截面积S?1cm2，铁芯的相对磁导率?r?500。试求：(a)线圈的自感；(b)当线圈通以1A电流时，磁场能量的总能量和磁场能量体密度。
解：对于RL回路， 有IR??(1?e(a)0.3秒后电功率 P??I?R?tL)
?2R(1?eR?tL10??0.33.02)?(1?e3.0)?0.569W
10R?tL210??0.33.02)?(1?e3.0)2?0.36W
10(b)电阻上的热功率 P热?RI?(c)电流恒定时 I?2?2R(1?e3.0?0.3A
R1011 磁场中的能量为：W磁?LI2??3.0?0.32?0.135J
22
??13．什么是位移电流？什么是全电流？位移电流和传导电流有什么不同？
答：位移电流不是电荷作定向运动的电流。变化电场，例如电容充电放电引起的电场变化，相当于一种电流，这种等效的电流我们称之为位移电流 全电流是指位移电流和传导电流之和。
位移电流和传导电流本质区别是电流是否发生定向移动，而表观的区别是通过导体时是否有热效应。
14．试证明：平行板电容器中的位移电流可写为
dU Id?Cdt式中，C是电容器的电容，U是两极板间的电势差。
dq证明：由电流定义得Id?，
dtdqdU又由电容器电容C? 得 Id?C
dUdt 45