△AMD≌△CMD（SAS） （3）∵MD=CM， ∴AM=MC=MD=MB， ∴MD=2AB，
由（1）可知：△MED∽△BCA，
∴= =， ∴S△ACB=4S1，
∵CM是△ACB的中线，
∴S△MCB=S△ACB=2S1，
∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，
∵=， ∴ =，
∴=，
设ME=5x，EB=2x， ∴MB=7x， ∴AB=2MB=14x，
∵==，
∴BC= ，
∴cos∠ABC===
【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
24．（12.00分）（2018?资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动
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点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15 ：综合题；537：函数的综合应用． 【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为
y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△
PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质
求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
2
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
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设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得： ，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
2 2 2
∴PN=PM﹣MN=﹣t+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t+2t+6+t﹣6=﹣t+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN?AG+PN?BM
=PN?（AG+BM）
=PN?OB
=×（﹣t2+3t）×6 2
=﹣t+9t
2 =﹣（t﹣3）+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，
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∵PH⊥OB于H， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH∥AO， ∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4， 即点P（4，6）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．
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