例1 (2011·四川理综·24)如图1所示，间距l＝0.3 m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内．在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1＝0.4 T、方向竖直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R＝0.3 Ω、质量m1＝0.1 kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2＝0.05 kg的小环．已知小环以a＝6 m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)小环所受摩擦力的大小； (2)Q杆所受拉力的瞬时功率．
跟踪训练1 如图2所示，电阻为R，其他电阻均可忽略，ef是一电阻可不计的水平放置的导体棒，质量为m，棒的两端分别与ab、cd保持良好接触，又能沿框架无摩擦下滑，整个装置放在与框架垂直的匀强磁场中，当导体棒ef从静止下滑一段时间后闭合开关S，则S闭合后 ( ) A．导体棒ef的加速度可能大于g B．导体棒ef的加速度一定小于g
C．导体棒ef最终速度随S闭合时刻的不同而不同 D．导体棒ef的机械能与回路内产生的电能之和一定守恒
例题2.如图3所示，空间存在竖直向上、磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，ab、cd是相互平行间距L＝1 m的长直导轨，它们处在同一水平面内，左边通过金属杆ac相连．质量m＝1 kg的导体棒MN水平放置在导轨上，已知MN与ac的总电阻R＝0.2 Ω，其他电阻不计．导体棒MN通过不可伸长的细线经光滑定滑轮与质量也为m的重物相连，现将重物由静止状态释放后与导体棒MN一起运动，并始终保持导体棒与导轨接触良好．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，其他摩擦不计，导轨足够长，重物离地面足够高，重力加速度g取10 m/s2.
(1)请定性说明：导体棒MN在达到匀速运动前，速度和加速度是如何变化的？达到匀速运动时MN受到的哪些力的合力为零？并定性画出棒从静止至匀速运动的过程中所受的安培力大小随时间变化的图象(不需说明理由及计算达到匀速运动的时间)；
(2)若已知重物下降高度h＝2 m时，导体棒恰好开始做匀速运动，在此过程中ac边产生的焦耳热Q＝3 J，求导体棒MN的电阻值r.
跟踪训练2 两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图4所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则 ( ) A．金属棒的动能、重力势能与弹簧的弹性势能的总和保持不变
mg
B．金属棒最后将静止，静止时弹簧伸长量为
k
B2L2v
C．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝ Rmg
D．金属棒最后将静止，电阻R上产生的总热量为mg· k
12.电磁感应中“杆＋导轨”模型问题 例3 (2011·天津理综·11)如图5所示，两根足够长的光滑平行金属 导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的 平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直 导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量
图5 均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的
匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问： (1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？ (2)棒ab受到的力F多大？
(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？ 建模感悟
在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型. 类型 示 意 图 已知 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 S闭合，棒ab受安培力F＝分 析 BLE，此时aR轨光滑，电阻不计 棒ab释放后下滑，此时a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝EBLv↑→电流I＝↑→安培力F＝RBIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速 变加速运动 E匀速运动vm＝ BL变加速运动 匀速运动 mgRsin αvm＝ B2L2 棒ab长L，质量m，电阻R；导“电—动—电”型 “动—电—动”型 BLE＝，棒ab速度v↑→感应电动势mRBLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速 运动 形式 最终 状态
跟踪训练3 如图6所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、 PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1 m，导轨的电阻可忽略．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一 根质量m＝1 kg、电阻r＝0.2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨
上，与导轨垂直且接触良好．整套装置处于磁感应强度B＝0.5 T的匀强 图6
磁场中，磁场方向垂直斜面向下．自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2(式中v为杆ab运动的速度，力F的单位为N)、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大．g取10 m/s2，sin 37°＝0.6.
(1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并请写出推理过程； (2)求电阻R的阻值；
(3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t. A组 电磁感应中的动力学问题
1． 如图7所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，
已知导轨足够长，且电阻不计．有一垂直导轨平面向里的匀强磁 场，磁感应强度为B，宽度为L，ab是一根不但与导轨垂直而且始终 与导轨接触良好的金属杆．开始，将开关S断开，让ab由静止开始 自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是 ( )
图7
属
2．如图8所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场 方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都 可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1.用一 沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后A．金属棒ab、cd都做匀速运动 B．金属棒ab上的电流方向是由b向a C．金属棒cd所受安培力的大小等于2F/3 D．两金属棒间距离保持不变 B组 电磁感应中的能量问题
3. 如图9所示，水平固定放置的足够长的U形金属导轨处于竖直向 上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒ab，开始时ab棒以水平 初速度v0向右运动，最后静止在导轨上，就导轨光滑和导轨粗糙 的两种情况相比较，这个过程 ( ) A．安培力对ab棒所做的功不相等 B．电流所做的功相等 C．产生的总内能相等 D．通过ab棒的电荷量相等 4. 如图10所示，在水平桌面上放置两条相距L的平行且无限 长的粗糙金属导轨ab和cd，阻值为R的电阻与导轨的a、c 端相连，其余电路电阻不计，金属滑杆MN垂直于导轨并可 在导轨上滑动．整个装置放于匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁
图10
图9 图8
( )
感应强度的大小为B.滑杆的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一质量为m的物块相连，绳处于拉直状态，现若从静止开始释放物块，用I表示稳定后回路中的感应电流，g表示重力加速度，设滑杆
所受阻力恒为Ff，(mg－Ff)RI2R
( )A．物体的最终速度 B．物体的最终速度
B2L2mg－FfC．稳定后物体重力的功率I2R
mg(mg－Ff)R
D．物体重力的最大功率可能为 B2L2C组 “杆＋导轨”模型应用
5．(2011·全国·24)如图11，两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置， 导轨间距离为L，电阻不计．在导轨上端并接两个额定功率均为 P、电阻均为R的小灯泡．整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度向与导轨所在平面垂直．现将一质量为m、电阻可以忽略的金属 棒MN从图示位置由静止开始释放．金属棒下落过程中保持水
图11
方
在
运
动
中
则
在
物
体
下
落
过
程
中
平，且与导轨接触良好．已知某时刻后两灯泡保持正常发光．重力加速度为g.求： (1)磁感应强度的大小；
(2)灯泡正常发光时导体棒的运动速率． 课时规范训练
(限时：60分钟)
一、选择题
1. 如图1所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于 水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab 的一根导体杆，它可以在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框 中导线的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则( ) A．ef将减速向右运动，但不是匀减速 B．ef将匀减速向右运动，最后停止 C．ef将匀速向右运动 D．ef将往返运动
2．如图2所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下，在磁 场中有一个边长为L的正方形刚性金属框，ab边的质量为m，电 阻为R，其他三边的质量和电阻均不计．cd边上装有固定的水平 轴，将金属框自水平位置由静止释放，第一次转到竖直位置时， ab边的速度为v，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在这个过
图2 图1
程中，下列说法正确的是 ( ) A．通过ab边的电流方向为a→b B．ab边经过最低点时的速度v＝2gL 1
C．a、b两点间的电压逐渐变大 D．金属框中产生的焦耳热为mgL－mv2
23．如图3所示，两根水平放置的相互平行的金属导轨ab、cd表面光 滑，处在竖直向上的匀强磁场中，金属棒PQ垂直于导轨放在上 面，以速度v向右匀速运动，欲使棒PQ停下来，下面的措施可
图3
行的是(导轨足够长，棒PQ有电阻) ( ) A．在PQ右侧垂直于导轨再放上一根同样的金属棒
B．在PQ右侧垂直于导轨再放上一根质量和电阻均比棒PQ大的金属棒 C．将导轨的a、c两端用导线连接起来 D．在导轨的a、c两端用导线连接一个电容器
4．(2011·福建理综·17)如图4所示，足够长的U型光滑金属导轨平面 与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨 平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒
ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接
图4
入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中 1qR( )A．运动的平均速度大小为v B．下滑的位移大小为
2BLB2L2v
C．产生的焦耳热为qBLv D．受到的最大安培力大小为sin
R
θ
5．如图5所示，光滑的“Π”形金属导体框竖直放置，质量为m的金 属棒MN与框架接触良好．磁感应强度分别为B1、B2的有界匀强磁 场方向相反，但均垂直于框架平面，分别处在abcd和cdef区域．现 从图示位置由静止释放金属棒MN，当金属棒进入磁场B1区域后，
图5
恰好做匀速运动．以下说法中正确的是 ( )A．若B2＝B1，金属棒进入B2区域后将加速下滑
B．若B2＝B1，金属棒进入B2区域后仍将保持匀速下滑 C．若B2
图7
图6
平向右的恒力F＝0.1 N拉动ab，使其从静止开始运动，则 ( ) A．导体棒ab开始运动后，电阻R中的电流方向是从P流向M B．导体棒ab运动的最大速度为10 m/s
C．导体棒ab开始运动后，a、b两点的电势差逐渐增加到1 V后保持不变
D．导体棒ab开始运动后任一时刻，F的功率总等于导体棒ab和电阻R的发热功率之和 8．如图8所示，间距为L的光滑平行金属导轨弯成“∠”形，底部 导轨面水平，倾斜部分与水平面成θ角，导轨与固定电阻相连， 整个装置处于竖直向上的大小为B的匀强磁场中，导体棒ab和 cd均垂直于导轨放置，且与导轨间接触良好．两导体棒的电阻皆
图8
与阻值为R的固定电阻相等，其余部分电阻不计．当导体棒cd沿底部导轨向右以速度为v匀速滑动时，导体棒ab恰好在倾斜导轨上处于静止状态，导体棒ab的重力为mg，则
( )
A．导体棒cd两端电压为BLv
2BLvt
B．t时间内通过导体棒cd横截面的电荷量为 3RB2L2v2
C．cd棒克服安培力做功的功率为
RD．导体棒ab所受安培力为mgsin θ
9．如图9(a)所示，在光滑水平面上用恒力F拉质量为m的单匝均匀正方形铜线框，边长为a，在1位置以速度v0进入磁感应强度为B的匀强磁场并开始计时，若磁场的宽度为b(b>3a)，在3t0时刻线框到达2位置速度又为v0，并开始