主动成长??
夯基达标
1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?则曲线C的方程为( )? A.50x2+72y2=1 B.9x2+100y2=1? C.25x2+36y2=1 D.
?x??5x,后，曲线C变为曲线2x＇2+8y＇2=1，
?y??3y,2282x?y?1 259?x??5x,解析:将?代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.?
?y??3y答案:A
x?2y?2??1的伸缩变换公式为( ) 2.将曲线x+y=1伸缩变换为492
2
?x??2xA.?
?y?3y?B.??x??3x
?y??2y??1x?x??2C.?
1?y??y?3???1x?x??3D.?
1?y??y?2??x???x,??0,x?2y?2?2x2?2y2??解析:设伸缩变换为?代入=1得=1与x2+y2=1比较,4949?y???y,??0.得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.?
答案:A
??1x?x,??23.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?后的图形.?
?y??1y?3?
(1)5x+2y=0; (2)x2+y2=1.
??1x?x??x?2x?,?2解:(1)由伸缩变换?得到?
?1?y?3y.?y??y?3? ①
将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.? 经过伸缩变换??x???x,??0,后,直线仍然变成直线.?
??y??y,?k?02
x?2y?2?(2)将①代入x+y=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.? 11492
经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.
4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x＇2-y＇2-4x＇+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.
?x???x,??0,解:设伸缩变换为?将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0.
?y???y,??0与方程x-36y-8x+12=0比较系数得
2
2
?21??236?4?3?. 812??11?x?x,∴λ=,μ=3.∴伸缩变换为x′=?2
2??y??3y.5.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是________.
解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).?
设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3.? ∴x2+y2=9(y≠0).? 答案:x2+y2=9(y≠0)
6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?
解析:本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.?
解:如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+202t,202t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.?
所以令|AB1|≤250,即(-300+202t)2+(202t)2≤2502,整理得16t2-1202t+275≤0.? 解得
152?57157?57?T?,1.99≤t≤8.61.?
44故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.
7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O＇切直线m于点A，又过B、C作⊙O＇异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，
（1）求点P的轨迹方程;?
?所成的比等于2∶3，（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分???MN求直线l的方程.
解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.?
解:（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,?
∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|,? ∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆. 以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方
x2y2程是2?2=1(a＞b＞0).?
ab∵a=9,c=3,∴b2=72.?
x2y2?∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).? 8172
（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为
2,? 3
2x21224由①②消去y2,得(5-x2)+(1-)=1,?
813981解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).?
∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.
8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S?πlh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到40.1 m）
解析:当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.?
x2y2解:（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为2?2=1.将b=h=6与点P坐标代入
ab椭圆方程,得a=
447887,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3 m.? 77
1124.52x2y2（2）由椭圆方程2?2=1,得2?2=1.?
abab1124.522?11?4.5, 因为2?2≥
abab即ab≥99,且l=2a,h=b,? 所以S=
πab99ππlh=≥.? 4441124.52192当S取最小值时,有2?2?,得a=112,b=,此时,l=2a=222≈31.1,h=b≈6.4.?
22ab故当拱高约为6.4 m,拱宽约为31.1 m时,土方工程量最小.
9.某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为
3m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始4不能通航？
解析:求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.?
本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p＞0),运用待定系数法确定参数p,问题即可获解.?
解:根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p＞0), ∵A（4,-5）在抛物线上,? ∴42=-2p(-5),p=1.6.? ∴x2=-3.2y(-4≤x≤4).?
设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,
于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为（2,y1）,由22＝-3.2y1,得y1＝-
5353,h=|y1|+=|-|+=24444（m）,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.
10.我们有一种数学方法：数形结合.如果要采取这种方法，基本上都是要建立适当的坐标系，我们为什么要采取这种方法呢？
答案:坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.?
建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？?
我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角函数的知识加以解决，如图所示.? 平面直角坐标系是进一步学习函数、三角函数及其他坐标系的必备基础知识.
走近高考
1.(2006江苏高考,4) 为了得到函数y=2sin(图象上所有的点( )
xπ?),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的361π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)? 631πB.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)?
63πC.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)?
6πD.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
6A.向左平移
答案:C
2.(2004云南三月检测题改编)如图,已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若
|PD|2?,,建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程. d2