?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是
0m0t??????p2?p?p0??Fdt??p1,
0????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
I??(10?2t)dt?10t?t2
0t亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为?
2???r?acos?ti?bsin?tj
求质点的动量及t＝0 到t???时间 2?内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为
????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
将t?0和t??分别代入上式，得 2?????p1?m?bj,p2??m?ai ,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
?1F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得t?(2)子弹所受的冲量
a bt1I??(a?bt)dt?at?bt2
02将t?a代入，得 ba2 I?2b(3)由动量定理可求得子弹的质量
Ia2m??
v02bv02-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为?
v+
2kT2T, v-
mkm证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得 m1?kmm ① ,m2?k?1k?1又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222 mv?m1v1?m2v2 ③ 联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2 km于是有 v1?v?将其代入④式，有
2T kmv2?v?2kT m又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?2kT2T,v2?v? mkm证毕．
????????F?7i?6jN2-12 设合．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能
的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
???????∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
??21?24??45J (2) P?A45??75w ?t0.6(3)由动能定理，?Ek?A??45J
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．?
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
A1??f?dy???fdy??kydy?ss01k ① 2式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A2??kydy?1y212kky2? ② 22由题意，有
1kA2?A1??(mv2)? ③
2212kk即 ky2??
222所以， y2?2
于是钉子第二次能进入的深度为
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向． 解: F(r)?n方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比．?
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
?dE(r)nk??n?1 drr
题2-15图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1k2? ?x2k1弹性势能之比为
12Ep12k1?x1k??2 1Ep2k12k2?x222-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地
球质量5.98×10
24
kg，地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月
822
球半径1.74×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么
6
它在P点的势能为多少??
解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引，由万有引力定律，有
G经整理，得
mM月r2?GmM地?R?r?2
r?M月M地?M月R
=
7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108
?38.32?10m 则P点处至月球表面的距离为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
EP??GM月r?G?R?r?M地
7.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10? 77??3.83?1038.4?3.83?1011?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于A点，绳已拉直，现令滑块落下m1,AB＝BC＝h，求它下落到B处时的速率．
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
??m2gh?11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2] 22式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
?l?AC?BC?(2?1)h
联立上述两式，得