ct?bt??csbt?s （13）
s?0n?1输出误差为：
et???bt???c??b??bt????csbt?s （14）
s?0n?1总的误差能量E为：
E?t???2(b?cb)?t???st?s （15）
s?0??n?1求取ct??c0,c1,?,cn?1?，使E达到最小值。cj要满足：
??n?1?E?2?(bt????csbt?s)(?bt?j)?cjt???s?0?(?2)[?bt??bt?j?t???n?1??t???s?0??cb??n?1
st?st?jb]?0j?0,1,2,?,n?1 （16）
所以 ?Rbb(s?j)?cs?Rbb(??j)s?0上式就是最小平方预测滤波方程组，解方程组可得预测滤波因子ct，与bt褶积可得
bt??。实际使用时，我们同样使用记录的自相关，来代替子波的自相关，从而引入相应的假设条件。到此为止，我们完成了预测反褶积的第一步：预测滤波。
第二步实现预测反褶积。求出ct以后，有两种途径来实现预测反褶积，一种是求预测道，然后从记录道中减去；而另一种途径是，组成反滤波因子，直接求反褶积输出道。
(1)求预测道法
这是比较常用的一种方法，有了ct以后，用ct与数据道xt进行褶积，得到一个预测道，然后整道延迟一个?，再从数据道中减去，就得到了预测反褶积的最终输出道。数据道与预测道相减时，要考虑它们之间的能量关系，一般是分时窗求均方根振幅比，使预测道的数据振幅，时延以后在同一时间上，与数据道的振幅有同样的水平。时窗不能太小，整道有3至5个时窗即可。
(2)直接求反褶积输出道
从预测的观点出发，反褶积的输出是预测误差，根据（14）式我们可以直接写出反滤波因子at的具体形式：
at??1,0,0,?0,?c?,?c??1,?,c??n?1? （16）式可写成Toeplitz矩阵形式：
Rxx(1)?Rxx(0)?R(1)Rxx(0)?xx?????Rxx(m)Rxx(m?1)Rxx(m)??Rxx(m?1)???????Rxx(0)???c0??Rxx(?)??c??R(??1)??1???xx? （17） ??????????cR(??m)?m??xx? 6
（二） 地表一致性反褶积
以Robinson褶积模型为基础的反褶积处理仍是目前提高地震资料分辨率的主要手段。在Robinson褶积模型中，均假定地震子波是最小相位，并且是时不变的，反射系数是白噪的。实际地震记录一般不满足这些假设，因此直接进行常规的反褶积处理就很难得到预期的效果。另一方面，在反褶积处理中，期望输出的选择也是影响反褶积效果的重要因素。在流行的反褶积软件中，常用的期望输出有?脉冲、带通子波和Ricker子波。这些子波在反褶积处理中虽然见到了一定的效果，但也存在难以克服的缺陷。针对这些问题，研究出了地表一致性俞氏子波反褶积处理技术，并在CONVEX-SPP大型并行机上开发了地表一致性俞氏子波反褶积地震处理软件，取得了满意的处理效果。
在地表一致性假设中，地震道被看成是震源算子，接受算子、反射系数算子（按CDP排列）和与炮检距有关的算子的褶积。在对数-傅立叶域中，褶积变成求和。对于给定的频率，其信号振幅的对数是震源、接收、构造和与炮检距有关项的和。由于我们认为，对地表同一位置，滤波作用与地震波的入射角无关，无论是浅、中、深层反射，其滤波作用均相同。因此，我们把实现这种反滤波功能的方法，称为“地表一致性反褶积”。
本文讨论两种实现地表一致性反褶积方法，它基本上代表两种不同类型的实现方式，并且在生产实践中均已经得到应用。一种是在频率域内，谱分解法；另一种是建立反褶积输出判别准则的时域迭代法。
1、谱分解法（复谱法）
利用谱分解法来实现地表一致性反褶积，主要有三大步骤，即谱分析、谱分解和反滤波因子的应用。图2是地表一致性反褶积处理流程，图2中的B框进一步划分为图3。
地震子波数学褶积模型：
sij(t)?oi(t)?h(j?i)2(t)?qj(t)?r(j?i)2(t) （18） 式中 i—炮点坐标；j—检波点坐标；sij(t)—i炮j道的有效波；
oi(t)—第i号震源脉冲；qj(t)—该道接收点响应；
h(j?i)2(t)—与偏移距有关的地层响应，该道半偏移距为h?(j?i)2；
r(j?i)2(t)—该道的地层脉冲响应，即反射系数函数； 对上式求复谱
S(j?)?O(j?)H(j?)Q(j?)R(j?) （19）
分解为振幅谱及相位谱：
As(?)?Ao(?)Ah(?)Aq(?)Ar(?) （20） 及 ?s(?)??o(?)?h(?)?q(?)?r(?) （21） 假设子波w(t)是最小相位的，则只需考虑振幅谱。对振幅谱求对数：
lnAs(?)?lnAo(?)?lnAh(?)?lnAq(?)?lnAr(?) （22）
7
?(?)的对数与它有一个误差，这个误差能这是模型振幅谱的对数，实际道振幅谱As量E为： E??(?)][lnA(?)?lnA?ss2 （23）
i,j,?即为炮点i、检波点j、频率?条件下两者之差的平方和。 计算每一道维纳-莱文森 单位预测反算子 将算子变为复赛谱 确定反算子中震源、检波 点、偏移距复赛谱分量 A 脉冲震源 可控震源 将复赛谱反变换为 将每一分量计算 时间域分量算子 混合相位算子 B 各分量算子褶积 形成最后算子 C 图2 地表一致性反褶积流程
A 将复赛谱算子分裂为零相零相位部分 位及最小相位两部分 最小相位部分 将复赛谱除2反变换为时反变换为最小相位时间域 间域 算子 自相关形成为零相位反算子 将各部分褶积形成各分 量算子 C
图3 混合相位的地表一致性反褶积流程部分
8
使能量误差为极小的条件为：
?E?E?E?E?E?????0 （24）
?[lnAs(?)]?[lnAo(?)]?[lnAh(?)]?[lnAq(?)]?[lnAr(?)]由此可求得一组正则方程，对之求解就可得到各分量的对数谱，从而可得到各分量的振幅谱。
2、时域迭代法
从波形一致、能量集中出发，提出一个判别准则，通过迭代来求得最佳反褶积因子。设地表一致性反褶积的输出为Yi,j，它可表示成：
Yi,j??h?,jXi??,j （25）
?式中，i为数据样点序号；j为CMP道集中的记录道号；hj为第j道所对应的炮点反因子或者是所对应的接收点反因子；Xi,j为反褶积前的输入数据。
根据能量集中准则，经过一系列推导可得：
?Rlxx(l??)hl?Rxy(?) l和?为(?N,?,0,?N) （26）
其中，Rxx是一个Toeplitz矩阵，矩阵各元素是M个记录道的自相关加权和，
?1Rxx(l??)??(Um?Vm?Xi?l,jXi??,j) （27）
miUm???Yi,2j （28）
ij等式右边的列向量各元素是输入的M个记录道与这M个记录道对应的共中心点道集的叠加道的（n-1）次方程的互相关的加权和，
?n2 Rx,y(?)??(Um??[sign(?Yi,j)?|?Yi,j|n?1?Xi??,j]) （29）
mijj这些值都与输出值Yi,j有关，即与所求的反褶积因子hl有关，可以通过迭代法求解反褶积因子hl。
具体实现步骤是：
(1)输入常规时差校正后的CMP道集，在一个指定的时窗段内分别求炮点和接收点反褶积因子；
?1(2)首先，给定反褶积因子的初值。通常可选为：hl???0l?0l?0l?(?N,N)
(3)根据（25）式，求CMP道集中所有道的反褶积输出Yi,j；
(4)求某炮点的反褶积因子时，在该炮集所涉及的CMP道集范围内，按（27）和（29）式，计算出相应的Rxx和Rxy；
(5)解方程组（27），得到一个新的反褶积因子hl；
(6)重复步骤（3）（4）（5），就完成了迭代运算过程，一般迭代2至3次即可。
9
3、地表一致性俞氏子波反褶积的基本原理 设地震记录符合如下模型：
xijk(t)??ijk?si(t)?gj(t)?ok(t)?nijk(t) (30)
其中si(t)表示第i炮位置的子波，gj(t)表示第j个检波点位置的子波，ok(t)表示第k个炮检距号对应的子波，xijk(t) 、 ?ijk(t)、nijk(t)分别为与si(t)、gj(t)、ok(t)对应的地震记录、反射系数和噪音。
对于一个炮集记录，因它们来自同一激发源，所以炮集记录自相关函数的多道设计能较好地反映炮点子波的自相关函数R(si0)的特性，因此可定义:
R(si0)?i?i0,j,k?Cijk?Rxijkxijk (31)
其中Cijk表示Rxijkxijk的权系数，i0表示第i0炮。同理，第j0个检波点对应的子波自相关函数定义为:
R(gj0)?i,j?j0,k?Cijk?Rxijkxijk （32)
第k0个炮检距号对应的子波自相关函数定义为:
R(ok0)?i,j,k?k0?CijkRxijkxijk (33)
上述三个分量计算出来以后，对任意一道地震记录xi0j0k0，可计算其地表一致性自相关函数Ri0j0k0:
Ri0j0k0?R(si0)?R(gj0)?R(ok0) (34) 依据上式就可求得最小相位子波，再选择适当的期望输出计算反褶积因子，与地震道褶积即可完成反褶积处理。 4、反褶积处理中需要考虑的一些问题
（1）地震子波最小相位化
在反褶积模型中，隐含了子波是最小相位的这一假设，而实际地震记录均为混合相位，且子波是未知的，为此，我们可通过对地震记录作指数加权的方法来满足这一条件假设。设地震记录:
x(t)?w(t)?r(t)??X0,X1,?,XN?
其Z变换为:
nN?n????X(Z)?W(Z)?R(Z)??wn?(Z?Zj)???rN?n??Z?Zk?
k?1??j?1???(t): 对地震记录作指数加权得x?(t)?X0,X1???t,X2??2?t,?,XN??N?t x其Z变换为:
10
??