“合作探究、自主发展”教学模式的实践体验
----《蚂蚁怎样走最近》的教学案例与反思
背景：
本节主要是是在前两节(1.勾股定理 2.能得到直角三角形吗)的基础上，以现实生活中的有趣问题为背景来展开学习。主要是用“勾股定理及直角三角形的判别条件”来解决生活中简单的实际问题。教科书提供了两个生动有趣的问题：一是蚂蚁从圆柱下底面上的一点，要爬到与之相对的上底面上的一点且要求所走的路线最短；二是用刻度尺去测量雕塑底座正面的两个边是否垂直。
用勾股定理及其逆定理解决上述两个问题就成了这节课的重点和难点。教学时，教师“引导学生在已有的生活经验和知识基础上学习数学、理解数学”，体会学习与生活的关系，培养学生自主探究能力，促进学生的思维发展。
教学目标：
1.在具体、有趣的问题情境中，进一步理解勾股定理及直角三角形的判别条件，经历解决一些简单实际问题的过程，培养学生的应用意识。
2.学会与他人合作、交流，初步形成评价与反思的意识。 3.认识数学与人类生活的密切联系，体会数学就在我们身边，人人需要学一些有用的数学。
教学片段：
一、创设情境，引发思考
师：前两节我们学习了勾股定理及直角三角形的判别条件，那么它们有什么用途呢？能解决生活中的哪些问题呢？下面大家把准备好的圆柱拿出来，在圆柱的下底面圆周上取一点A，假如
在A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它如何爬行？
（生纷纷拿出已做好的圆柱，在下底面圆周上找到一点A及与AB 点相对的上底面上的B点，并思考老师提出的问题。）
师：由A点到B点可爬行的路线是不是很多？ 生：是(异口同声)。
师：在这么多的路线中，蚂蚁怎样走最近呢？(板书课题)大家可以动手画一画，寻找哪条路线最短？
(学生在生动、具体、有趣的问题情景中，注意力被牢牢吸引，积极性也被调动起来.接着提出蚂蚁怎样走最近这个问题，使学生带着问题进入新课的学习，激发了学生探究问题的好奇心，从而展开本节课的探究活动。)
二、合作交流，探索新知
师：蚂蚁由A点到B点，大家画出很多条路线，哪条是最短的呢？
（同学们有些在看着图形若有所思，有些在草稿纸上画图思考，有些几个同学在低声交流）。
生1：先直走到对面，再直走到B处。
生2：（不对）我认为应直接从A到B。我们学过“两点之间的所有连线中，线段最短”。
(大家议论纷飞，有的还争得面红耳赤)
师：（及时地启发学生）如果我们沿着过A点的圆柱的高将圆柱剪开，情况会是怎么样呢？
（这下同学们好像看到了希望，热情高了不少，动手动脑的人看上去更多了。）
（生按教师的启发沿过A点的圆柱的高将圆柱剪开）
师：大家发现了什么问题？
生1：（高高地举起手）原来的圆柱剪开后变成一个长方形。
A
(其他也有很多学生举手)。
师：好，还有没有不同意见？ 生：没有(齐声回答)。
师：生1同学非常善于观察，语言表达也很准确，大家掌声鼓励。
师：大家在长方形中是否还能找到原来圆柱上的A点和B点呢？
生2：举起手中的长方形向大家说明A点、B点的位置。 师：还有没有没找到A点、B点位置的？ 生3、生4等同学：举手。
师：好，组内同学帮助他们找一找。 生：帮助生3、生4等同学找到A点、B点。
师：大家都找到了原来圆柱上的A点、B点在长方形上的位置。现在看一看蚂蚁由A点爬到B点怎样走最近呢？最短距离是多少？
生4：举起手中的长方形，指出其中所画的一条线段为最短距离。
师：你能给大家解释一下为什么吗？
生5：求A点到B点的最短距离，实际上是求两点间的最短距离，我们学习过“两点之间的所有连线中，线段最短”。 （此言一出，教室里先是安静，然后响起了热烈的掌声）
师：好，生5的解释非常清楚，大家听明白了吗？ 生：明白(共同回答)。
师：那如何来求这个最短距离呢？现在各组讨论一下。 生（小组讨论）
师：谁来说一下，你是如何求的？把你求AB的表达式表示出来。
生6（给出表达式，并画出圆柱和剪开后长方形的草图） 师：请你给大家解释一下表达式中各量的来历。
生6：AB是直角三角形的斜边，要求AB的长就必须找出两条直角边的长，其中12是圆柱的高，即长方形的宽，而3π是？(表情迟疑)
师：3π是怎么来的？看另一条直角边落在长方形的哪条边上，观察与长方形这条边的大小关系？
生7：(与生6同组，主动站起来)长方形的长为圆柱的底面圆周长(边说边演示)，长方形的长为6π，而3π为长方形长的一半。
师：生7演示的很清楚，解释的很详细，大家听清楚了吗？（这时同学们予以热烈的掌声。）
[评析：这个有趣的问题，不仅是勾股定理的应用，而且体现了二、三维图形的转化，通过图形的转化突破了本问题的难点，对发展学生的空间观念也有很大好处。蚂蚁从圆柱的下底面上一点A要爬到与之相对的上底面上的一点B且要求所求路线最短，看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题。开始时让学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，学生可能会认为自己所画的线中的某一条是最短的，而当进一步将圆柱展开成长方形时，此时同学们恍然大悟，原来利用的是线段公理。同学们经历画、剪、展开图形的过程，能使同学们更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的自信心，同时在此过程中，引导学生将空间想象、动手操作和思考结合起来，经历问题的解决过程后，使学生学会如何来学习数学，如何与人合作、交流，同时培养了学生的语言表达能力、动手操作能力、演示能力。]
师：这节课还有一个生活中的实际问题需要我们大家来解决。大家看一看14页的做一做，看你能不能替李叔叔完成这个任务。你是不是同意李叔叔的做法？大家先独立思考然后组内讨论。
生8：我同意李叔叔的做法。 师：为什么？
生8：量得AD=30cm，AB=50cm.因为有900+1600=2500，根据直角三角形的判别条件，说明∠DAB一定为直角，即AD与AB一定垂直。
师：好，解释的非常有条理，大家还有没有不同看法？ 生：没有。
师：若小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他该怎么办呢？考虑一下，看有没有自己的办法？
生9：可以用20cm的刻度尺分段量，然后再加起来求出AB，同样方法求出AD、BD。
师：大家看这种方法可以吗？ 生：可以(还有举手的)。 师：好像还有其他办法。
生10：可以在AD、AB边上各量一段, 再去量以它们为边的三角形的第三边。
师：这种方法更简单、方便，生10同学考虑出自己的办法，其它同学要积极动脑。
[评析：这是一个利用直角三角形的判别条件来解决的实际问题。教学中鼓励学生自己寻找办法，培养了学生独立思考的能力；要求学生表述为什么，能使学生更好地形成逻辑推理能力；解决问题时要求学生想出自己的办法，能训练学生思维的全面性，有利于培养他们的创新精神。]
三、实践应用，巩固新知
师：小华父亲在自家门前立一根晾衣杆，为了使晾衣杆更稳定，需要在衣杆离地面1.5米处设一拉线，要求拉线离杆底端2米，小华父亲让小华计算一下需要多少米的拉线。
生：解答问题，一名学生到前面板演。
师（启发学生先画出草图，并且帮助有困难的学生） 师：指导小组内交换互评，互相帮助，并注意看前面学生的解题过程是否有问题，巡视收集信息。