最优捕鱼策略（1996年A题）
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源的开发必须适度。一种合理的、简化的策略是：在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼的最优捕捞策略：
假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109（?105个），平均每条3龄鱼的产卵量为1.109/2（?105个），2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1.22?1011/(1.22?1011?n),其中n为产卵总量。
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业，如果每年投入的捕捞能力固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1） 建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
2） 一渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（?109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
3.1 问题分析
这个问题所要建立的基本模型是在每年初各年龄组的鱼群数量的迭代关系，它是一个与捕捞强度系数有关的离散模型，模型的参数应该由各年龄组的鱼群在年内动态的连续模型估算出。由这个模型就可以得到由于捕捞而获得的年产量模型，这个函数就是优化的目标函数。可持续捕捞应该在离散模型的平衡解处发生，因此，模型的平衡解的迭代关系就给出了优化问题的约束条件。 问题的第二问在于处理如何实现五年后保持鱼群的生产
能力不受到太大的破坏。由于所给的初始鱼群并不是可持续捕捞的鱼群，为了在五年内即得到最大的收益，有不破坏鱼群的生产能力，从数学上说应该是五年后鱼群尽量接近可持续捕捞鱼群的条件下来达到产量最高，有多种处理方法。 3.2 模型假设
1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出. 其他竞争
2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会自然死亡. 3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内(后1/3年)完成产卵和孵化的过程. 孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄鱼组.
4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生在产卵之后.
5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的.
6) 四龄以上的鱼全部死亡.
7) 采用固定努力量捕捞, 即捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群的条数, 比例系数称为捕捞强度系数.
3.3 模型建立
1) 符号和数据
xi(t)--t时刻i年龄组的鱼群数量; r—鱼的平均自然死亡率,r=0.8;
fi--i年龄组鱼的产卵力,
(f1,f2,f3,f4)?(0,0,0.5A,A),A?1.109?105
wi--i年龄组鱼的平均重量
(w1,w2,w3,w4)?(5.07,11.55,17.86,22.99) qi--i年龄组的捕捞强度系数 (q1,q2,q3,q4)?(0,0,0.42E,E)
t?2(产卵月份) 3 2) 模型
a. 无捕捞时的鱼群的增长
dxi(t)??rxi(t),k?t?k?1,i?1,2,3,4;k?0,1,2,...dtxi(0)?xi,xi?1(k?1)?xi?(k?1)?limxi(t)t?k?1x1(k?1)?1.22?10x0(k?t)[1.22?1011?x0(k?t)]11
x0(k?t)?0.5Ax3(k?t)?Ax4(k?t)
b. 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞量的模型
dxi(t)??rxi(t)?qi(E)xi(t),k?t?k?t?????????(1)dtdxi(t)??rxi(t),k?t?t?k?1??????????????(2)dtxi(0)?xi,xi?1(k?1)?xi?(k?1)?limxi(t),i?1,2,3,4;k?0,1,2,???(3)
t?k?11.22?1011x0(k?t)x1(k?1)??????????????(4)[1.22?1011?x0(k?t)]x0(k?t)?0.5Ax3(k?t)?Ax4(k?t)???????????(5)
鱼群的增长:求解(1)、（2），并注意连续条件（3）可得
xi?1(k?1)?sli(E)xi(k),i?1,2,3 （6） x1(k?1)?bx0(k)b?x0(k), （7）
x0(k)?0.5As2/3l3(E)x3(k)?As2/3l4(E)x4(k), （8）
其中
s?e?r?0.4493,l1(E)?l2(E)?1