第一讲 元素与集合
一．集合的概念
集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念．尽管如此，对一个具体的集合而言，很多情况下我们还是可以采用列举法或描述法给出它的一个准确而清晰的表示．
用描述法表示一个集合基于下面的概括原则：
概括原则 对任给的一个性质P，存在一个集合S，它的元素恰好是具有性质P的所有对象，即 S＝｛xP(x)｝， 其中P(x)表示“x具有性质P”．
由此，我们知道集合的元素是完全确定的，同时它的元素之间具有互异性和无序性． 集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集．如果有限集A的元素个数为n，则称A为n元集，记作A?n．空集不含任何元素．
例1 设集合M＝｛xax?5?0｝
x2?a（1）当a?4时，化简集合M；
（2）若3?M，且5?M，求实数a的取值范围．
由概括原则我们知道，判断一个对象x是否为集合S的元素，等价于判断x是否具有性质P．
例2 设A是两个整数平方差的集合，即A?xx?m2?n2,m,n?Z．证明： （1）若s,t?A，则st?A． （2）若s,t?A，t?0，则
??s?p2?q2，其中p,q是有理数． t二、集合与集合的关系
在两个集合的关系中，子集是一个重要的概念，它的两个特例是真子集和集合相等．从下面“充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念无疑是十分有益的：
子 集：A?B?对任意x?A，恒有x?B； 真子集：AB??A?B?；
?且存在x'?B，但x'?B集合相等：A＝B?A?B，且B?A． 容易证明两个集合关系的如下性质： 1．??A，?A（A≠?）；
2．A?B，B?C?A?C；
3．“元集A总共有2个不同的子集，有2nn?1个不同的真子集．
例1 设集合P?m?1?m?0，Q?m?Rmx2?4mx?4?0对任意实数则下x恒成立，列关系中成立的是（ ）
（A）P
Q （B）QP （C）P＝Q （D）P?Q＝?
????解题切入： 正确理解集合Q，并解出Q．
2导析： 对于Q，可设f(x)?mx?4mx?4，由mx?4mx?4<0恒成立，知函数f(x)2图象全位于x轴下方，
①当m?0时，f(x)??4显然成立；
②当m?0时，有??m?0??1?m?0． ??0?由①、②知Q?m?1?m?0，故P即A正确．
??Q．
评注： 利用函数思想解决方程与不等式等问题是最常用的数学思想之一，在平常的学习中要有意识强化这种重要数学思想的应用．本题易错点：容易忽略m＝0的情况，习惯地将f(x)视为二次函数，从而出现漏解情况．
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（1）设A、B为两个集合，下列四个命题： ①A不包含于B ? 对任意x?A有x?B； ②A不包含于B ? A∩B＝?； ③A不包含于B ? A不包含B； ④A不包含于B ? 存在x?A且x?B 其中正确命题的序号是 ．
导析： （举特例）取A＝｛1，2｝，B＝｛1，3｝，排除①②；取A＝｛1｝，B＝?，排除③
评注： 本题综合考查集合的包含关系．
例2 设集合M?(x,y)x2?y2?1,x?R,y?R，N?(x,y)x2?y?0,x?R,y?R，则集合M∩N中元素的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解题切入： 关键是分清数集与点集．
（数形结合）：M是由单位圆x?y?1上的点组成，而N是由抛物线y?x上的点组成．画图可知M∩N中的公共元素（即交点）有两个，
故选B．
评注： 利用数形结合思想，可避开复杂的运算过程，从而提高同学们的解题速度与准确性．
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设A，B，I为3个非空集合，且满足A?B?I，则以下各式中错误的是（ ） （A）（I A）∪B＝I （B）（I A）∪（I B）＝I （C）（I B）∩A＝? （D）（I A）∩（I B）＝I B 导析：由A?B知（I A）?I B， ∴（I A）∪（I B）＝I A ∵A≠?，
∴I A≠I，故B错．
222????例3 设函数f(x)?x2?ax?b（a,b?R），集合A＝｛xx?f(x),x?R｝， B＝｛xx?f?f(x)?,x?R｝．
（1）证明：A?B；
（2）当A＝｛－l，3｝时，求集合B．
分析 欲证A?B，只需证明方程x?f(x)的根必是方程x?f?f(x)?的根．
(a?1)2(a?1)2例4 设关于x的不等式x?和x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0 ?22(a?R)的解集依次为A、B，求使A?B的实数a的取值范围．
分析 要由A?B求出a的范围，必须先求出A和B．