习 题
1．已知三元实数集A＝?x,xy,x?y?，B＝0,xy,y，且A＝B，则x2005?y2005等于（ ）． （A）0 （B）2 （C）1 （D）－l
2．集合M?uu?12m?8n?4l,m,n,l?Z与N?uu?20p?16q?12r,p,q,r?Z的关系为（ ）．
（A）M＝N （B）M?N，N?M （C）MN （D）NM
3．设A??x,y?0?x?2,0?y?2，B??x,y?x?10,y?2,y?x?4是直角坐标平面xOy上的点集．则C???????????????x1?x2y1?y2,2??2??(x,y)?A,(x,y)?B． ?11?所成图形的面积是（ ）22??（A）6 （B）6.5 （C）2? （D）7
4．已知非空数集M?｛1，2，3，4，5｝，则满足条件“若x?M，则6?x?M”的集合M的个数是（ ）．
（A）3个 （B）7个 （C）15个 （D）31个 5．集合?x?1?log110????x?1,x?1且x?N?的真子集的个数是 ． 2?6．已知A?xx2?4x?3?0,x?R，B?x2???1?x?a?0,x2?2(a?7)x?5?0,x?R．若
?A?B，则实数a的取值范围是 ．
7．已知M?xx?a?1,a?N是 ． 8．非空集合S满足：
（1）S?｛1，2，?，2n＋1｝，n?N；（2）若a?S，则有2n?2?a?S． 那么，同时满足（1）、（2）的非空集合S的个数是 ．
9．集合A??x1,x2,x3,x4,x5?，计算A中的二元子集两元素之和组成集合B＝｛3，4，5，6，7，8，9，10，11，13｝．则A＝ ．
??2??，N??xx?b2?4b?5,b?N?，则M与N的关系
?10．设集合M＝｛1，2，3，?，1000｝，现对M的任一非空子集X，令aX表示X中最大数与最小数之和．求所有这样的aX的算术平均值．
11．用?(x)表示非空的整数集合S的所有元素的和．设A＝｛a1,a2,?,a11｝是正整数的集合，且a1?a2???a11；又设对每个正整数n≤1500，都存在A的子集S，使得?(x)＝n．求a10的最小可能值．
分析 要求a10的最小值，显然应使?(x)＝1500．又由题设，应使a11尽可能大，且前10个数之和不小于750，故取a11＝750．考虑整数的二进制表示，由1＋2＋?＋27＝255知，前8个数应依次为1，2，4，8，16，32，64，128．这时a9?a10＝495，从而有a10＝248．
1．设E＝{1，2，3，?，200}，G＝{a1,a2,?,a100}?E，且G具有下列两条性质： （1）对任何1≤i ?ai?1100i?10080． 试证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数． 跟着的是死算, 我x a1^2+a2^2+……+a100^2+(201-a1)^2+(201-a2)^2+……+(201-a100)^2=200x(200+1)x(2x200+1)/6=2686700 平方和公式------↑ 2(a1^2+a2^2+……+a100^2)-402(a1+a2+……+a100) + 100x(201^2) = 2686700 ==> a1^2+a2^2+……+a100^2=1349380 因为奇数的平方除以4余1 , 偶数的平方被4整除, 而1349380除以4余0,也就是说1349380被4整除 那么G中奇数必定是4的倍数,才满足平方和被4整除 2．称有限集S的所有元素的乘积为S的“积数”，给定数集M＝{所有含偶数个元素的子集的“积数”之和． 111,,?, }．求集M的23100构造函数F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知X,X^3,X^5...X^97的系数和 即为数集M的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和； 设F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99; 则F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100; F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2; 所以a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200 选A。 这了打字方便，先规定个符号，记含有n个元素的子集的积数合为An， 构建函数f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)??（x+1/100) 则f(1)=3/2*4/3*5/4*??*101/100=101/2 f(-1)=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)*(-99/100)=-1/100 将f(x)展开得 f(x)=x^99+A1x^98+A2x^97+??+A98x+A99 f(1)=1+A1+A2+??+A99=101/2 f(-1)=-1+A1-A2+A3-??-A98+A99=-1/100 设A1+A3+A5+??A99=m,A2+A4+A6+??+A98=n 则1+m+n=101/2,-1+m-n=-1/100 解得n=50.51即为答案 3．考虑实数x在3进制中的表达式．K是区间[0，1]内所有这样的数x的集合，并且x的每位数字是0或2．如果S＝x?yx,y?K，求证：S＝z0?z?2＝[0，2]． 4．设S＝{1，2，3，4}，n项的数列：a1,a2,?,an有如下性质：对于S的任何一个非空子集B（B的元素个数记为B），在该数列中有相邻的B项恰好组成集合B．求n的最小值． ????首先证明S中的每个数在数列a1，a2，?，an中至少出现2次．事实上，若S中的某个数在这个数列中只出现1次，由于含这个数的二元子集共有3个，但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法，因而3个含这个数的二元子集不可能都在数列相邻两项中出现． 由此可见n≥8． 另一方面，8项数列：3，1，2，3，4，1，2，4满足条件，因此，所求最小值为8． 5．设集合M＝{1，2，3，?，1000}，现对M的任一非空子集X，令?x表示X中最大数与最小数之和．求所有这样的?x的算术平均值． 对于任意一个集合，用1001减去每个元素的值，得到一个新集合。如果这个集合就是原来的集合，那么这个集合一定是由一对对加起来是1001的数组成，显然最大最小之和是1001.如果不是的话，这两个集合的最大最小（共四个数）之和是2002，而且这两个集合对应，平均数也是1001.所有的集合只有这两种，所以1001 解: 将M中非空子集进行配对,对每个非空子集X包含于M,令X'={1001-x| x属于x},则当X1也是M的非空子集,且X不等于X1时,有X'不等于X'1,于是所有非空子集除{1,2,3,...,1000}以外,分两类: (1)X'不等于X, (2)X'=x. 对于(2)中的X,必有a(x)=1001. 对于(1)中的每一对X与X',有a(x)+a(x')=1001×2=2002. 由此可见,所有a(x)的算术平均值为1001. 6．设S为满足下列条件的有理数集合： （1）若a?S,b?S，则a?b?S,ab?S； （2）对任一个有理数r，3个关系r?S,?r?S,r?0中有且仅有一个成立． 证明：S是由全体正有理数组成的集合． 定义满足如果a∈A,b∈A ，那么a±b∈A，且ab∈A，且a/b∈A的集合A为“闭集”， N,Z,Q,R是否为闭集？ 举反例就可 对N 为自然数: 令a=1,b=2 ,因为a/b=1/2 不属于N ,所以N不是闭集 对Z 为整数: 令a=1,b=2,因为a/b=1/2 不属于Z ,所以Z不是闭集 对Q 显然 有理数和有理数的四则运算都为有理数,所以Q是闭集 R时实数,显然是闭集