（2）X与Y的需求函数 效用最大化的必要条件：
11???
XPXlnaYPlnaY?L?M?PX?X?PY?Y?0 ??由此可得：对X的需求函数X?（3）X与Y的需求的点价格弹性 点弹性Ed?MM， 对Y的需求函数Y? 2PX2PYlim?P?0?QPdQP??? ?PQdPQX的需求点弹性EdX?PXdXPXMM ??????2dPXXX2XPX2PXPYdYPYMM ??????2dPYY2YP2PYYYY的需求点弹性EdY?
7． 一位大学生即将参加三门功课的期终考试，他能够用来复习功课的时间只有6小时。又
设每门功课占用的复习时间和相应会有的成绩如下表： 小时数 经济学分数 数学分数 统计学分数 0 30 40 70 1 44 52 80 2 65 62 88 3 75 70 90 4 83 77 91 5 88 83 92 6 90 88 93 现在要问：为使这三门课的成绩总分最高，他应怎样分配复习时间？并说明理由。 解：学生复习课程的边际效用： 小时数 经济学MU 数学MU 统计学MU 1 14 12 10 2 11 10 8 3 10 8 2 4 8 7 1 5 5 6 1 6 2 5 1 消费者均衡条件
MUnMU1MU2??????，假定学生用于每门功课的所花费的P1P2Pn单位时间的成本是一样的，所以，该学生要使总成绩最高，就要努力实现这三门功课的边际
效用相等。
由上表可以查得，当复习时间为6小时的条件下，当经济学、数学、统计学分别花费的时间为3、2、1小时，总时间为6小时，而且各门功课的边际效用相等，都等于10，所以，学生应该按上述方案分配时间。
8． 已知某君每月收入120元，全部花费于X和Y两种商品，他的效用函数为U=XY，X
的价格使2元，Y的价格使3元。求：
6
（1） 为使获得的效用最大，他购买的X和Y各为多少？
解：效用函数U＝XY， 约束条件M＝120＝XPX＋YPY＝2X＋3Y
消费者均衡条件
MUXMUY??? PXPY所以
MUXYMUYX????? PX2PY3得 X＝30，Y＝20
（2） 货币的边际效用和他获得的总效用各为多少？ U＝600，货币的边际效用λ＝10
（3） 假如X的价格提高44％，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增
加多少？
效用函数U＝XY＝600， 约束条件M＝XPX＋YPY＝2.88X＋3Y
消费者均衡条件
MUXMUY??? PXPY所以
MUXMUYYX????? PX2.88PY3 X＝25 Y＝24 M＝144
（4） 假如某君原有的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为
消费品价格指数的加权数，当X价格提高44％时，消费品价格指数提高多少？ （0.6×2.88＋0.4×3）／（0.6×2＋0.4×3）＝2.928／2.4＝1.22
价格指数提高22%。
（5） 为使他保持原有的效用水平，他的收入必须提高多少个百分率？
144／120＝1.2 所以，收入必须提高20%。
（6） 你关于（4）和（5）的答案是否相同？假如不同，请解释为什么某君的效用水平能
保持不变。
答案不同。该君的效用水平保持不变，是因为收入提高了，但 X商品的价格也提高了，从而导致货币的效用水平降低了（约为8.33），最终能够使消费者调整购买两种商品的数量，从而在均衡条件下保持总效用不变。
9． 某消费者的效用函数为U=XY，P元，Py?2元，M＝40元，现在Py突然下降到1x?1元，试问：
（1） Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y？
Y商品价格的下降，其替代效应都会使他买更多的Y，价格下降的替代效应使需求量增加。
解：效用函数U＝XY， 约束条件M＝40＝XPX＋YPY＝X＋2Y
消费者均衡条件
MUXMUY??? PXPY 7
所以
MUXYMUYX????? PX1PY2得 X＝20，Y＝10
Y价格下降到1时的替代效应，此时总效用U＝X×Y＝200保持不变，约束条件M2＝XPX＋YPY＝X＋Y （PY＝1） 消费者均衡条件
MUXMUY??? PXPY所以
MUXY2MUYX???2?? PX1PY1得 X2＝14，Y2＝14 M2＝28
所以，此时，Y降格下降，Y的需求上升，从10上升到14。
（2） Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应?收入效应使
他购买更多还是更少的Y?
当Y价格突然下降1时，U＝XY，约束条件M＝40＝XPX＋YPY＝X＋Y
MUXY1MUYX???1?? PX1PY1 X1＝Y1＝20
收入效应＝总效应－替代效应
所以，Y价格下降对Y需求的收入效应＝Y1－Y2＝20－14＝6，使他购买更多的Y，相当于他增加12（M－M2＝40－28＝12）收入的效应。
（3）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X？收入效应使他买更多还是更少的X？Y价格下降对X需求的总效应使多少？对Y需求的总效应又是多少？
Y价格下降对X的替代效应＝X2－X＝14－20＝－6，使他买更少的X。
收入效应＝总效应－替代效应，所以，Y价格下降对X需求的收入效应＝X1－X2＝20－14＝6，使他购买更多的X。
Y价格下降对X需求的总效应＝X1－X＝20－20＝0 Y价格下降对Y需求的总效应＝Y1－Y＝20－10＝10
第四章 生产理论
一． 规模报酬的递增、不变和递减这三种情况与可变比例生产函数的报酬递增、不变和
递减的三种情况的区别何在？“规模报酬递增的厂商不可能也会面临要素报酬递减的现象”这个命题是否正确？为什么？ 规模报酬的递增、不变和递减，指的是生产要素同比例变化时，生产规模报酬的递增、不变和递减。可变比例生产函数的报酬递增、不变和递减，指的生产要素按不同比例变化，引起的生产规模报酬的递增、不变和递减。
规模报酬递增的厂商也可能也会面临要素报酬递减的现象。因为，规模报酬递增是从厂商生产过程来说的，要素报酬递减，即边际报酬递减，是从要素的边际生产力来说的。
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二． 试说明下列说法是否正确：
（1） 假定生产某产品要用两种要素，如果这两种要素价格相等，则该生产者最好就是要
用同等数量的这两种要素投入。 错 生产者均衡条件为
MPMPLK??r
（2） 两种要素A和B的价格如果相等，则产出量一定时，最低成本支出的要素投入组合
将决定于等产量曲线斜率为－1之点。 对
（3） 假定生产X产品使用A、B两要素，则A的价格下降必导致B的使用量增加。 错 （4） 在要素A和B的当前使用水平上，A的边际产量是3，B的边际产量是2，每单位
要素A的价格是5，B的价格是4，由于B是较便宜的要素，厂商如减少A的使用量而增加B的使用量，社会将以更低的成本生产出同样多产量。
错 边际产出之比3／2，价格之比为5／4，可适当增加A，减少B，使之相
等。 三．
已知生产函数为Q?f(K,L)?KL?0.5L2?0.32K2，Q表示产量，K表示资本，
L表示劳动。令上式的K＝10。
（1） 写出劳动的平均产量(APPL)函数和边际产量（MPPL）函数。 K＝10时，Q?f(K,L)?10L?0.5L2?32
Q32?10?0.5L? LLdQ?10?L MPPL?dL APPL?（2） 分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到极大值时厂商雇佣的劳动。
显然，MPPL?10?L，当L＝0时，边际产量达到最大，最大值为10。 当MPPL＝10－L＝0时，总产量TL达到最大，即劳动雇佣量L＝10时，总产量TL达到最大。
dAPP32L??0.5?2?0时，即L＝8时，平均产量达到最大，最大值为2。 dLL（3） 证明当APP 。L达到极大时，APPL?MPPL?2 APPL?Q32?10?0.5L? LL32?0 2L当APPL函数的一阶导数等于零时，APPL最大。 所以，对APPL数求导得：?0.5?解得 L＝8
代入APPL函数，得APPL＝2 代入MPPL函数，得MPPL＝2。 四．
已知生产函数为Q?f(K,L)?10KL K?L9
（1） 求出劳动的边际产量及平均产量函数。
APPL?Q10K? LK?LdQ10K(K?L)?10KL10K2 MPPL???22dL(K?L)(K?L)（2） 考虑该生产函数的边际技术替代率函数（MRTS）的增减性。 边际技术替代率
MRTSLKMPLK2??2 MPKLKK2设f(K)?2?MRTSLK，则f?(K)?22?0，所以边际技术替代率函数对资本K
LL单调递增。
K2K2设f(L)?2?MRTSLK，则f?(L)??23?0，所以边际技术替代率函数对劳动
LLL单调递减。
（3） 考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。
dQ10K(K?L)?10KL10K2劳动的边际生产函数MPP ??L?22dL(K?L)(K?L)20KL10K2?设f(K)?MPP，则f(K)??0，所以边际产量函数对资本?L32(K?L)(K?L)K单调递增。
10K220K2设f(L)?MPP，则f?(L)??所以边际产量函数对劳动?0，L?23(K?L)(K?L)L单调递减。 五．
已知某厂商的生产函数为Q?L38K58,又设P L?3元，PK?5元。（1） 求产量Q＝10时的最低成本支出和使用的L与K的数量。
dQ3?88?LK 劳动的边际生产函数MPPL?dL8dQ58?8?LK 资本的边际生产函数MPPK?dK8生产者均衡条件为
3355MPMPLK?PL，所以得K＝L PK 10