名师一号 高考总复习 模块新课标 北师大版数学（理）
计时双基练七十五 圆与直线、圆与四边形
1．(2015·天津卷)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N。若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )
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A.3 10C.3
B．3 5D.2
?MD＝AM·MB，?CM·
解析 由相交弦定理，得?
?NE＝AN·NB。?CN·
因为M，N是弦AB的三等分点， 所以AM＝MN＝NB，MB＝AN。 所以AM·MB＝AN·NB。
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所以CM·MD＝CN·NE，即2×4＝3·NE，解得NE＝3 答案 A
2．(2016·宿州模拟)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E，若∠BCD＝110°，则∠DBE＝( )
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A．75° C．60°
B．70° D．55°
解析 因为A，B，C，D是⊙O上的四个点， 所以∠A＋∠BCD＝180°，
因为∠BCD＝110°，所以∠A＝70°， 因为BE与⊙O相切于点B， 所以∠DBE＝∠A＝70°。 答案 B
3.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F。在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF。则所有正确结论的序号是( )
A．①② C．①②③
B．③④ D．①②④
解析 由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠DBC。
∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确； 由切割线定理知，∴②正确；
由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正确； ABAF
∵△ABF∽△BDF，∴BD＝BF。
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∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确。故选D。 答案 D
4.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相BC
交于点P。若PB＝1，PD＝3，则AD的值为________。
解析 ∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝BCPB1
∠P，∴△BCP∽△DAP，∴AD＝PD＝3。
1答案 3
5．(2015·重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________。
解析 因为PA是圆的切线，所以有PA2＝PC·PD， PA262
于是PD＝PC＝3＝12，因此CD＝PD－PC＝9。 又因为CE∶ED＝2∶1，所以CE＝6，ED＝3。 又由相交弦定理可得AE·BE＝CE·ED， 6×3
所以BE＝9＝2。 答案 2
6．(2015·广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是
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圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________。
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解析 设OD交劣弧AC于点M，由OP∥BC，得OP＝2，P为3
AC的中点，PM＝2。
由切割线定理得DC2＝DM·(DM＋4)。①
在△ABC中，AC为直角边，且AC＝AB2－BC2＝42－12＝15，15所以CP＝2。
在Rt△DCP中，DC2＝(DM＋PM)2＋CP2，② 联立①②可求得DM＝6，所以OD＝8。 答案 8
7．(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C。
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径。 解 (1)证明：因为DE为⊙O直径， 则∠BED＋∠EDB＝90°。
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又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 从而∠CBD＝∠BED。
又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA。
BAAD
(2)由(1)知BD平分∠CBA，则BC＝CD＝3， 又BC＝2，从而AB＝32。
所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3。
2AB
由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AD＝6，
故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3。
8．(2015·湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N。直线MO与直线CD相交于点F。证明：
(1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO。
证明 (1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°。
又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°。
(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN
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