名师一号 高考总复习 模块新课标 北师大版数学（理）
＝FM·FO。
9. (2015·课标全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E。
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小。 解
(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB。 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE。 连接OE，则∠OBE＝∠OEB。
又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线。
(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2。 由射影定理可得，AE2＝CE·BE， 所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0。 可得x＝3，所以∠ACB＝60°。
10. (2015·课标全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。
6
名师一号 高考总复习 模块新课标 北师大版数学（理）
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积。
解 (1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC， 所以AD是∠CAB的平分线。
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F， 所以AE＝AF，故AD⊥EF。 从而EF∥BC。
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，
故AD是EF的垂直平分线。
又EF为⊙O的弦，所以O在AD上。 连接OE，OM，则OE⊥AE。 由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE， 所以∠OAE＝30°。
因此△ABC和△AEF都是等边三角形， 因为AE＝23， 所以AO＝4，OE＝2。
7
名师一号 高考总复习 模块新课标 北师大版数学（理）
1
因为OM＝OE＝2，DM＝2MN＝3，
103
所以OD＝1。于是AD＝5，AB＝3。所以四边形EBCF的面积为1?10?2×?3
3?2
3131632
?×－×(23)×＝
2223。 ?
8