最小位能原理的未知场变量是位移，以节点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立有限单元为位移元。它是有限元方法中应用最为普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题3节点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达式。 2.1 弹性力学平面问题的有限元格式 2.1.1 单元位移模式及插值函数的构造
y vm
um
vi
ui
i 0
m vj
uj
j
x
图2.1 3节点三角形单元
1. 单元的位移模式和广义坐标
在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取应有低次到高次。
3节点三角形单元位移模式选取一次多项式 u = ?1 + ?2x + ?3y
v = ?4 + ?5x + ?6y （2.1.1）
其中?1~?6是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个节点位移来表示。在（2.1.1）的1式中带入节点i的坐标(xi,yi)可得到节点i在x方向的
位移ui，同理可得uj和um。它们表示为
ui??1??2xi??3yi uj??1??2xj??3yj
um??1??2xm??3ym （2.1.2）
2. 位移插值函数
将求得的广义坐标?1~?6代入（2.1.1），可将位移函数表示成节点位移的函数，即
u?Niui?Njuj?Nmum
v?Nivi?Njvj?Nmvm （2.1.3） 其中
Ni?1(ai?bix?ciy)(i,j,m) （2.1.4） 2ANi，Nj，Nm称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，它是坐标x、y的一次函数，其中的bi，ci,...,cm是常数，取决于单元的3个节点坐标。 2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程
对于离散模型，系统总位能的离散公式
?p????U???dV???e?dS （2.2.1）
eVeeS?将结构总位能的各项矩阵表达成各个单元总位能的各对应项矩阵之和，隐含着要求单元各项矩阵的阶数（即单元的节点自由度数）和结构各项矩阵的阶数（即结构的节点自由度数）相同。为此需要引入单元节点自由度和结构节点自由度的转换矩阵G，从而将单元节点位移列阵ae用结构结点位移列阵a表示，即
ae?Ga （2.2.2）
则离散形式的总位能可表示为
?1?p?aT?GT??BTDBdVGa??BTD?0dVVe?2Vee
~??BT?0dV??NTfdV??eNTTdS??VeVeS???1TaKa?aTP （2.2.3） 2由于离散形式的总位能?p的未知变量是结构的结点位移a，根据变分原理，泛函?p取驻值的条件是它的一次变分为零，?? p＝0，这样就得到有限元的求解方程
Ka?P （2.2.4）
其中
K??GTKeGP??GTPe （2.2.5）
eEK和P分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷列阵。它们都是有单元敢赌
矩阵Ke和单元等效结点载荷列阵Pe集合而成。
需要注意，将单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵集成为结构刚度矩阵和结构等效载荷列阵时，实际执行的并不是如（2.2.5）式所示需通过转换矩阵G的运算，而是将单元矩阵或列阵的元素直接“对号入座”，叠加到结构矩阵或列阵而成。
以上表述的是基于弹性力学最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原理。
2.2.3 引入位移边界条件
最小位能变分原理是具有附加条件的变分原理，它要求场函数u满足几何方程和位移边界条件。现在离散模型的近似场函数在单元内部满足几何方程，因此由离散模型近似的连续体内几何方程也是满足的。但是在选择场函数的试探函数（多项式）时，却没有提出在边界上满足位移边界条件的要求，因此必须将这个条件引入有限元方程，使之得到满足。
可以引入边界条件的方法有直接代入法、对角元素改1法和对角元素乘大数法。直接代入法要重新组合方程，组成的新方程阶数降低了，但结点位移的顺序
性已被破坏，这给编制程序带来了一些麻烦；对角元素改1法引入强制边界条件比较简单，不改变原来方程的阶数和结点未知量的顺序编号。但这种方法只能用于给定零位移；对角元素乘大数法使用简单，对任何给定位移（零值或非零值）都适用。采用这种方法引入强制边界条件时方程阶数不变，结点位移顺序不变，编制程序十分方便，因此在有限元法中经常采用。 2.3 广义坐标有限元法一般格式
2.3.1 广义坐标有限元位移模式的选择和插值函数的构造
1. 选择广义坐标有限元位移模式的一般原则
（1）广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等，否则待定广义坐标?无法以单元结点位移来表示。例如，3结点三角形单元有6个自由度，因此其广义坐标个数只能是6，每个方向3个。
（2）多项式中常数项和坐标的一次项必须完备，目的是确保所选位移模式能反映单元的刚体位移和常应变特性。
（3）多项式选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式。 对于平面问题：
零次完全多项式： x0，y0 一次完全多项式： x, y 二次完全多项式： x2, xy, y2 三次完全多项式： x3, x2y, xy2, y3
若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标对称性。且一个方向的次数不应超过完全多项式的次数。如二次：xy；三次：x2y，xy2。
2. 建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤 （1）假设位移模式；
（2）将各结点坐标代入，得到关于广义坐标的线性方程组，从而求出广义坐标；
（3）将广义坐标?回代入一般位移模式中得到由单元结点位移列阵所表示的位移模式；
（4）由位移模式u?Na?，由矩阵形式的几何方程，求导数可得到应变矩阵B，即??ba????
（5）由矩阵形式的物理方程，则弹性矩阵乘以应变向量，得??DBa?。 2.3.2 弹性力学问题有限元分析的执行步骤
在根据问题的类型和性质选定了单元的形式，并构造了它的插值函数以后，可按以下步骤对问题进行有限元分析。
（1）对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等因素划分单元并形成网格，既将原来的连续体离散为在结点处互相联结的有限单元组合体。
（2）形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵。单元刚度矩阵的一般形式为
Ke??eBTDBdV （2.3.1）
V单元等效结点载荷的一般形式为
Pe?Pfe?PSe
PSe??eNTTdSPfe??NTfdV
S?Ve（3）集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵
K??Ke???BTDBdV （2.3.2）
eeVeP?Pf?PS?PF??(Pfe?PSe)?PF
e其中PF是直接作用于结点上的集中力。
（4）引入强制边界条件（给定位移）。 （5）求解有限元方程，得到结点位移?。
K??P （2.3.3）
（6）计算单元应变和应力。
??B?e
??D??DB?e
（7）进行必要的后处理。 2.4 有限元解的性质和收敛准则 2.4.1 有限元解得收敛准则