有限元法作为求解微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同之处在于有限元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，即如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n??时，则里兹法的近似解将趋于微分方程的精确解。现在要研究有限元解的收敛性。
在有限元法中，场函数的总体泛函是单元泛函集成的，如果采用完全多项式（无穷多项）作为单元的插值函数，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和精确解一致。但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是精确解的一个近似解答。有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元趋于精确解。
下面仍以含有一个待求标量场函数为例，微分方程是
A(?)?L(?)?b?0 （2.4.1）
相应的泛函是
?1?????C(?)C(?)??b?d??b.t （2.4.2）
?2??~假定泛函中包含?和它的直至m阶的各阶导数是非零的，则近似函数?至少必须是m次多项式。若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p?m。假设
~?仅是x的函数，则?及其各阶导数在一个单元内的表达式为：
???0??1x??2x2??3x3????pxp~????1?2?2x?3?3x2???p?pxp?1 ?x~?2??2?2?6?3x???p(p?1)?pxp?2 （2.4.3） 2?x??
~~?m?p!?m!??(m?1)!?x????pxp?m mm?1m(p?m)!?x~由上式可见，因为?是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式
~中都包含有常数项。当单元尺寸趋于零时，在每一单元内?及其m阶导数将趋于精确解，即趋于常数。因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确解。如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋于它的精确解。即解是收敛的。
收敛准则：
准则1完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。
准则2协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm?1连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续导数。
当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是协调的。
当单元为完备的协调单元，则有限元解收敛，即细分单元其解趋于精确解。 2.4.2 收敛准则的物理意义
在平面问题中，泛函?p中出现的是位移u和v的一次导数，即应变?x,?y,?xy，因此m?1。
收敛准则1要求插值函数或位移函数至少是x,y的一次完全多项式。我们知道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。实际分析中，各单元的变形往往包含着刚体位移，同时单元尺寸趋于无穷小时各单元的应变也趋于常应变。所以完备性要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体位移（零应变）或常应变的位移模式时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可能收敛于精确解。
应该指出，在Bazeley等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则，如果将此收敛准则用于有限尺寸时，将使解的精度得到改进。
对平面问题，协调性要求是C0连续性，即要求位移函数u,v的零阶导数，也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。如果在交界面上位移不连续表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将产生无限大的应变，这时应该将发生在交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去。但在建立泛函?p时，没有考虑到这种情况，只考虑了产生于各个单元内部的应变能。因此，当边界上位移不连续时，则有限元解就不可能收敛于精确解。
可以看出，最简单的3结点三角形单元插值函数既满足完备性要求，也满足协调性要求，因此单元的解是收敛的。
应当指出，对于二、三维弹性力学问题，泛函中出现导数是一阶。对于近似的位移函数的连续性要求仅是C0连续性，这种只要求函数自身在单元边界连续的要求很容易得到满足。
而当泛函中出现导数高于一阶（如板壳，泛函中出现的导数是2阶）时，则要求试探函数在单元交界面上具有连续的一阶或高于一阶的导数，即具有C1或更高阶的连续性，这时构造函数比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要这种单元能通过分片试验，有限元解仍然可以收敛于正确的解答。这种单元称为非协调单元。 2.4.3 位移解的下限性质
以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称为位移元。通过系统总位能的变分过程，可以分析位移元的近似解与精确解偏离的下限性质。
系统总位能的离散形式为
1?p??TK???TP （2.4.4）
2由变分??p?0得到有限元求解方程
K??P （2.4.5）
将（2.4.5）式代入（2.4.4）
11?p??TK???TK????TK???U （2.4.6）
22在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。因此，当?p??pmin，则
U?Umax。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总是与精确解有差别，因此得到的系统总位能总会比真正的位能大。我们将有限元解的总位能、
~~~~应变能、刚度矩阵和结点位移分别用?p,U,K,?表示，相应的精确解的有关量用~~?p,U,K,?表示。由于?p??p，则有U?U，即
~TK?~??TK? （2.4.7） ?对于精确解有 K??P
~~~对于近似解有 K??P （2.4.8） 将（2.4.8）式代入（2.4.7）式得到
~TP??TP （2.4.9） ?由（2.4.9）式看出，近似解应变能小于精确解应变能的原因是近似解的位移
~总体上要小于精确解的位移?。故位移元得到的位移解总体上不大于精确解，?即解具有下限性质。
3 等参元和数值积分
用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。等参元是目前应用最广的一类单元可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面：几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换(母单元的位移模式)。由于两种变换均采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数，故称其为等参变换。
等参元在有限元法的发展中占有重要位置，由于他能是局部坐标系内的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状为扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的
实际问题求解提供了有效的单元形式。两种坐标系内坐标的变换通常采用和位移函数相同的插值形式，依据坐标变换插值点数和位移插值点数的比较，分别称之为等参元、超参元和次参元。通常应用最多的是两者插值点数相同的等参元。
等参元的表达格式和广义坐标有限元表达格式原则上是一致的。在单元特性矩阵形成时，为了使等参元的特性矩阵在规范化的局部坐标系内进行，必须进行总体坐标系内和局部坐标系内的导数、面积、体积、长度等的变换以及积分限的变换。同时为了保证上述变换能够进行，必须保证等参变换能够实现，其基本点是要保证单元的形状不过分扭曲，这在实际应用中应给与足够注意。
经过以上探讨和学习，对有限元基础的理论做了以下理解和总结： 1. 等效积分形式可以通过分部积分得到它的“弱”形式，利用提高权函数的连续性要求来降低待求场函数的连续性要求，从而可以更广泛的选择试探函数。有限元法经常利用为理论基础的正是等效积分的伽辽金“弱”形式，这样不仅降低了对试探函数连续性的要求，而且还可以得到系数矩阵对称的求解方程，从而给计算分析带来很大的方便。
2. 将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理，它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。
3. 以弹性力学静力分析问题为例，学习了通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立了位移元。
4. 以平面问题3结点三角形单元为典型，学习了如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法和步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达格式。
5. 为了将常用单元及其插值函数的构造用于实际工程问题和物理问题分析，需要将规则形状的单元转化为其边界为曲线曲面的相应单元。有限元法中普遍采用等参变换，即单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。