5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物M1和质量为8kg的重物M2，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物M2的加速度a2及绳的拉力。 解：
取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力M1g,M2g。假设重物M2的加速度a2的方向竖直向下，则重物M1的加速度a1竖直向上，两个重物惯性力FI1,FI2为：
FI1?M1a1
FI2?M2a2 (1)
该系统有一个自由度，假设重物M2有一向下的虚位移?x2，则重物M1的虚位移?x1竖直向上。由动力学普遍方程有：
?W??M1g?x1?M2g?x2?FI1?x1?FI2?x2?0 （2）
根据运动学关系可知：
?x1?12?x2
a1?12a2 （3）
FI2
将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意?x2?0有：
a2?4M4M22?2M1?M1g?2.8(m/s)2δx1
FI1
M2g
M1g
δx2
方向竖直向下。取重物M2为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：
M2g?T?M2a2
T
解得绳子的拉力T?56.1(N)。
本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。
M2g
a2
5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分 方程。
解：
该系统为保守系统，有一个自由度，取?为广义坐标。
系统的动能为：
12T?m[(l?R?)??]2
取??0为零势位，则系统的势能为：
V?mg[Rsin??(l?R?)cos?]
?L?L)??0?L?T?Vdt????拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：
整理得摆的运动微分方程为：
???R??2?gsin??0(l?R?)?
5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为
(s?4bsin?，式中s是以O为原点的弧坐标，?是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质
d点的运动规律。 解：
该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标S为广义坐标。系统的动能为：
1?2T?mS2
取S?0为零势位，系统的势能为：
V?mgh 由题可知
h?dhdS?sin??S4b，因此有：
h ?0ss4bds?S2
则拉格朗日函数：
8b
?2?mgS2mS28b d?L?L???gS?0， 代入拉格朗日方程： ()??0，整理得摆的运动微分方程为：S?dt?S?S4bL?T?V?1解得质点的运动规律为：S?Asin(12gbt??0)，其中
A,?0为积分常数。
5-13质量为m的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度?绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩M。
解：
1.求质点的运动微分方程
圆环（质量不计）以匀角速度?绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度?为
广义坐标。系统的动能为：
T?1
122m(r??)?m(?rsin?)22
取??0为零势位，系统的势能为：
V?mgr(1?cos?)
则拉格朗日函数：
L?T?V?122222mr(????sin?)?mgr(1?cos?)
d(
?L?L)??0???代入拉格朗日方程：dt?? ，整理得质点的运动微分方程为：
???(g??2cos?)sin??0?r
2.求维持圆环作匀速转动的力偶M
如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速?转动”这一约束，将力偶M
视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度?和圆环绕轴AB的转角?为广义坐标，系统?代替?，则拉格朗日函数为： 的势能不变，动能表达式中以?
122?2sin2?)?mgr(1?cos?)L?T?V?mr(????2
力偶M为非有势力，它对应于广义坐标?和?的广义力计算如下：
取???0,???0，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为[?W]???0，因此力偶M对应于广义坐标?的广义力
Q?M?0；
[?W]???M???取???0,???0，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为，因此力偶MQ?????对应于广义坐标的广义力
d?L?LM()??Q??0??代入拉格朗日方程dt???，整理可得： ???gsin??0?r
d?L?LM()??Q??M???代入拉格朗日方程dt??，整理可得：
22???mr2sin2??????M mrsin??
M[?W]???M；
???,????0，代入上式可得： 圆环绕铅垂轴AB匀速?转动，即：?
2M?mr???sin2?
5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴O1O2转动，轴O1O2又绕铅垂轴OC以匀角速度?转动。物体的质心G在垂直于O1O2的直线上，O3G?l。设O1O2和O3G是物体过O3点的惯量主轴，转动惯量为J1和J2，物体对另一过O3点的惯量主轴的转动惯量为J3，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。 解：
垂直于O1O2的平面
??
z’ O3
?
x’ ? θ G
z’
?绕轴O1O2的定轴转动，牵连运动是以角O1O2OC为动系，则物体的相对运动是以角速度θ
O3G为y?轴，以O1O2为x?轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度?a可表示成：
以该物体为研究对象，有一个自由度，取O3G和OC的夹角?为广义坐标。若以框架y’ y’
?和ω的矢量之和。为了方便起见，速度?绕OC轴的定轴转动，物体的绝对角速度?a是θ
?i???cos?j???sin?z??a?θ
???由于坐标系O3xyz的三个坐标轴为过O3点的三个惯量主轴，则系统的动能为：
T?12222[J1???J2(?cos?)?J3(?sin?)]
取??0为零势位，系统的势能为：
V?mgl(1?cos?)
则拉格朗日函数：
L?T?V?12
222[J1???J2(?cos?)?J3(?sin?)]?mgl(1?cos?)
代入拉格朗日方程：
?L?L)??0dt????? (d，
整理后，可得物体的运动微分方程为：
????(J?J)sin?cos???mglsin?J1?23
25-17重P1的楔块可沿水平面滑动，重P2的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水
平力F，如图所示。忽略摩擦，角?已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。 解：
取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移x，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移s为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度vA，楔块B的速度vB，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：
系统的动能为：
T???vB?vA?vBr
12mAvA??2?xP22g212mBvB2vBr P12g12g??s?cos?)2?(s?sin?)2][(x
2vA
??(P1?P2)x1g?s??P2cos?x12g?P2s2
取过x轴的水平为零势面，系统的势能为：
则拉格朗日函数：
V?P2ssin?
L?T?V?12g??(P1?P2)x21g?s??P2cos?x12g??P2ssin?P2s2
将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算如下：
取?x?0,?s?0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[?W]?x?F?x，因此力F对应于广
义坐标x的广义力
Qx?F；
F
取?x?0,?s?0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[?W]?s?Fcos??s，因此力F对应
于广义坐标s的广义力
Qs?Fcos?F； )??L?x?Qx?FFd?代入拉格朗日方程dt?x(?L，整理可得：