??1212?sin(???)]2?[s?cos(???)???m1{[s?2?(m1?m2)s0l2]}?21242?2?m1l?12?m2s2
12?s?cos(???)?m1l?162?2m1l?
设s?0,??90时势能为零，系统的势能为：
V?m1gl2cos??(m1?m2)gssin??12k?2
拉格朗日函数L?T?V中不显含时间t，存在广义能量积分，即：
T?V?12??(m1?m2)sl2212?s?cos(???)?m1l?12162?2m1l?
?m1gcos??(m1?m2)gssin??k?2?常数
5-29半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空心圆柱内表面滚动而不滑动，
mr2如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为2m0R。试求系统的首次积分。
2和
解：
以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取?,?为广义坐标。
系统的动能为：
111122222T?m0R???mvO1?(mr)?2222
其中：
?vO1?(R?r)?，
圆柱相对于圆筒作纯滚动，由圆柱轴心O1以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得：
代入动能有：
131222?2?m(R?r)R????T?(2m0?m)R???m(R?r)?442
设??0为零势位，系统的势能为：
??1r??R??][(R?r)?
V?mg(R?r)(1?cos?)，
拉格朗日函数：
L?T?V?131222?2?m(R?r)R?????mg(R?r)(1?cos?)(2m0?m)R???m(R?r)?442
拉格朗日函数中不显含广义坐标?和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：
?L?T12??R??]?p0??m0R???mR[(R?r)?2?????? T?V?11122??R??]2?m(R?r)2??2?mg(R?r)(1?cos?)?E0m0R???m[(R?r)?242