5-6 已知因果序列x(n)的z变换X(z)，求序列的初值x(0)和终值x(?)。
1?z?1?z?2（1）X(z)?
(1?2z?1)(1?z?1)1（2）X(z)?(1?0.5z?1)(1?0.5z?1)
解：
（z）（1）根据初值定理，有x(0)?limX(z)?1，因为X存在极点z?2，不满足终
z??值定理的条件，x(?)不存在。
（z）（2）根据初值定理，有x(0)?limX(z)?1，因为X的极点都在单位圆内，满足
z??终值定理条件，所以x(?)?lim(z?1)X(z)?0。
z?1
z3?2z2?15-7 已知F(z)?3，|z|?1，求f(n)。 2z?1.5z?0.5zf(n)?2?(n?1)?6?(n)?[8?13(0.5)n]u(n)。
解：
因为|z|?1，可知f(n)为右边序列。
幂级数展开法。采用长除法可以将F(z)展开成幂级数，即
F(z)?1?3.5z?1?4.75z?2?6.375z?3?故
5-8 用单边z变换求解下列方程，并指出其中的零状态响应分量与零输入响应分量，稳态响应分量与瞬态响应分量。
（1）y(n)?0.1y(n?1)?0.02y(n?2)?10u(n)，y(?1)?4，y(?2)?6；
（2）y(n)?2y(n?1)?(n?2)u(n)，y(0)?1。
解：利用z变换解差分方程的步骤是：
①对差分方程取单边z变换，并代入起始条件，将差分方程变换为一个z域的代数方程，正确应用单边z变换的位移性是这一步的关键；
②解z域的代数方程得Y(z)；
③求y(n)?Z[Y(z)]。
（1）对差分方程两边同时取单边z变换，得
?1f(n)?{1，3.5,4.75,6.375,}
Y(z)?0.1[z?1Y(z)?y(?1)]?0.02[z?2Y(z)?z?1y(?1)?y(?2)]?移项并整理，得
10zz?1
代入初始值并化简，得
10z?0.1y(?1)?0.02z?1y(?1)?0.02y(?2)Y(z)?z?11?0.1z?1?0.02z?2
10z?0.28?0.08z?1Y(z)?z?11?0.1z?1?0.02z?2?1?0.1z?1?0.02z?2?10z3?0.28z2?0.08z(z?1)(z2?0.1z?0.02)?z2?0.1z?0.02Yzs(z)Yzi(z)则零状态响应为
y?1?110z3zs(n)?Z[Yzs(z)]?Z[(z?1)(z2?0.1z?0.02)]?Z?1[101.08?zz?1?12.7?zz?0.1?109?z
z?0.2] ?[9.259?0.370?0.1n?1.111?(?0.2)n]U(n)
yn)?Z?1[Y?1?0.28z2?0.08zzi(zi(z)]?Z[z2?0.1z?0.02]?Z?1[0.52z1.36z3?z?1?3?z?0.2]?0.173?0.1n?0.453?(?0.2)nn?0
y(n)?yzs(n)?yzi(n)?9.259?[?0.197?0.1n?0.658?(?0.2)n]，其中，9.259为稳态响应，?0.197?0.1n?0.658?(?0.2)n为瞬态响应。
（2） Y(z)?2[z?1Y(z)?y(?1)]?z2（z?1）2－zz?1 由于y(0)?1，通过迭代可求得y(?1)，即
y(n?1)?12[(n?2)U(n)?y(n)]令n?0，得y(?1)?13
2[?2?1]??2。
z?2zY(z)?(z?1)2(z?1)3z(?2z2?3z)3z1?2z?1?1?2z?1?(z?1)2(z?2)?z?2?[1z3?4z14z3z(z?1)2?9?z?1?9?z?2]?z?2Yzs(z)Yzi(z)故
y[1414zs(n)?3n?9?9(?2)n]U(n)
ynzi(n)?3(?2)，n?0
y(n)?y1413zi(n)?yzs(n)?3n?9?9(2)n，n?0
由于存在极点?2，是个不稳定系统，故无稳态响应分量。
n?0