等于v2．
综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足
3(2?3)aqB3aqB． ?v?mm粒子从距Ａ点(23?3)a~3a的EG间射出． 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动
例8、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d?1.0?10m，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在
?2BQ0~3.2?107m/s范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，
若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B?9.1?10T，已知电子的质量m?9.1?10?31kg，电子电量e?1.6?10?19?3??A?????P图8 ??C，不计电子的重
力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：
（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．
（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中?角表示）与电子速度的大小v之间应满足的关系及各自相应的取值范围．
解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由
BQMN2Bev?mmvmv可得rm?，代入数据解得rm?2?10?2m?2d．
Ber?d????APF?H?该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电
图12 子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最
远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．
在?ＭＦＨ中，有FH?HM?MF?(2d)?d22223d，
BQQM?PF?(2?3)d?2.68?10?3m/s， QN?d?1?10?2m，PH?2d?2?10?2m．
?3?2????o??v???r?AP图13
电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距2.68?10m~1?10m的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距0~2?10m的范围．
（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有r??2mvd，rsin??． Be2
解得vsin??8?10．
6v取最大速度3.2?107m/s时，有sin??时有?max?11，?min?arcsin；v取最小速度44?2，vmin?8?106m/s．
6所以电子速度与?之间应满足vsin??8?10，且
1???[arcsi,n]，v?[8?106m/s,3.2?107m/s]
42
六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动
例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：
（1） 中间磁场区域的宽度d;
（2） 带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用
时间t.
y/cm?????op??????????x/cm??图14 L E d B B O 图9
解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： qEL?带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：
1mV2 2V2BqV?m
R由以上两式，可得R?12mEL．
Bq可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角
形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为
d?Rsin600?（2）在电场中
16mEL
2BqO O3 600 O2 O1 图11
t1?2V2mV2mL， ??2aqEqET2?m ?33qB55?m， T?63qB在中间磁场中运动时间t2?在右侧磁场中运动时间t3?则粒子第一次回到O点的所用时间为
t?t1?t2?t3?22mL7?m． ?qE3qB七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动
例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图５所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度． （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度． 解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图６所示．
由图中知r1?R1?(R2?r1)，解得r1?0.375m
2227图10
BqrV121V??1.5?107m/s 由BqV得?m11mr1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V1?1.5?10m/s．
（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与
外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图７所示．
由图中知r2?O O2 图７
7R2?R1?0.25m 2
Bqr2V22?1.0?107m/s 由BqV2?m得V2?mr2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2?1.0?107m/s
例11、如图８所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B．在两极间加上电
a 压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为ｍ、
S 带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，
b d 初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出o 发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个
c 装置在真空中）
解析：如图９所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦
图11
兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径
向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有
qU?1mV2 2a S d o b 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有
V2BqV?m
R由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过
3圆周，4所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;
c 图９
B2qr2U?.
2m